Mathematical Sciences: Low-Dimensional Topology and Gauge Theory

数学科学:低维拓扑和规范论

基本信息

项目摘要

9704204 Saveliev The research is concerned with a topic which is central to the theory of smooth 4-dimensional manifolds, namely the homology cobordism group of integral homology 3-spheres. The long-term goal is to make progress in solving the long-standing problem of R. Kirby about the existence of elements of order two in this group carrying the Rohlin invariant. The investigator concentrates his attention at the elements represented by the links of algebraic singularities, in particular, Seifert fibered homology spheres. His approach is based on application of the methods of modern gauge theory to investigation of the invariant introduced in the 70's by W. Neumann and L. Siebenmann for the so-called graph homology 3-spheres. This application is threefold. First, he uses some special resolutions of singularities to construct a 4-cobordism of an algebraic link with the prescribed intersection form, and he then applies the gauge-theoretical results which prohibit certain integral bilinear forms as intersection forms of such a resolution if the link bounds a homology ball. The result of this investigation is further applied to show that Rohlin invariant one algebraic links cannot have order two in the homology cobordism group. Second, the investigator uses the instanton Floer homology to introduce a new invariant for arbitrary homology 3-spheres, and he proves that it agrees with the invariant of Neumann and Siebenmann when the latter is defined (graph manifolds). This result also gives new insights into Floer homology, in particular, answers positively M. Atiyah's question whether there is a Milnor fiber description of Floer homology of certain algebraic links, and whether it is related to the complex conjugation action on the homology of the Milnor fiber. Finally, the investigator applies his new invariant to investigate Kirby's problem for general homology spheres. The first step in this direction is to prove that his invariant should vanish on all hom ology 3-spheres that bound a homology ball with just one 1-handle (and a 0- and 2-handle). His technique is to use the Floer exact triangle to keep track of the Floer homology along the cobordism. One of the central objects of investigation in both mathematics and theoretical physics is a smooth n-dimensional manifold. Although this object looks locally like an n-dimensional Euclidean space, its global structure may still be very rich and complicated. Most major results about 2-dimensional manifolds were obtained in the 19th century. Manifolds in dimensions greater than or equal to 5 were successfully classified in the 1960's. Though some major questions about 3-manifolds remain unanswered, it is manifolds of dimension 4, the dimension of relativity theory, that occupy the most special place in the manifold hierarchy. On the one hand, they are not "big enough" to apply to them the arguments that proved to be so useful in higher dimensions. On the other hand, their dimension is too big to apply more intuitive methods that work effectively in lower dimensions. Progress has been slow here for a few decades until recent developments that involved the application of ideas from the physics of gauge theories. The main results are due to S. Donaldson, who initiated the whole program in the early 1980's, and most recently to N. Seiberg and E. Witten. The gauge-theoretical approach proved to be very fruitful and led to the solution of many hard problems. The investigator is applying these modern methods to make progress on yet another long-standing problem in topology, the structure of the homology cobordism group of homology 3-spheres, which would provide new insight into manifold structure. ***
小行星9704204 研究了四维光滑流形理论中的一个核心问题,即积分同调3-球面的同调配边群。 长期目标是在解决R.柯比关于存在的元素,以便在这个群体进行洛林不变。 调查集中他的注意力在代表的元素的链接代数奇点,特别是,塞弗特纤维同源领域。 他的方法是基于应用现代规范理论的方法来研究70年代由W。Neumann和L. Siebenmann的所谓图同调3-球面。 这一应用有三个方面。 首先,他使用一些特殊决议的奇异性,以建设一个4-cobordism的代数链接与规定的交叉形式,然后他适用的规范理论的结果,禁止某些积分双线性形式的交叉形式的决议,如果链接边界的同源球。 进一步证明了同调配边群中的Rohlin不变一代数环不可能有二阶。 其次,研究者利用瞬子Floer同调,为任意同调3-球面引入了一个新的不变量,并证明了当Neumann和Siebenmann的不变量被定义时(图流形),它与Neumann和Siebenmann的不变量一致。 这一结果也为Floer同源性提供了新的见解,特别是肯定地回答了M。Atiyah的问题是否有一个米尔诺纤维描述的弗洛尔同源性的某些代数联系,以及它是否涉及复杂的共轭行动的同源性的米尔诺纤维。 最后,研究者应用他的新不变量来研究一般同调球面的Kirby问题。 在这个方向上的第一步是证明他的不变量应该消失在所有的同调3-球,只有一个1-手柄(和0-和2-手柄)的同调球。 他的技巧是使用Floer正合三角形来跟踪Floer同调沿着配边。 光滑n维流形是数学和理论物理研究的中心对象之一。 虽然这个物体在局部看起来像一个n维欧氏空间,但它的全局结构可能仍然非常丰富和复杂。 关于二维流形的主要结果是在世纪得到的。 维数大于或等于5的流形在20世纪60年代被成功地分类。 虽然关于三维流形的一些主要问题仍然没有答案,但四维流形(相对论的维度)在流形层次中占据了最特殊的位置。 一方面,它们还不够“大” 应用在高维空间中非常有用的论证。 另一方面,它们的维数太大,无法应用更直观的方法,这些方法在较低的维数下有效地工作。 几十年来,这方面的进展一直很缓慢,直到最近的发展涉及到规范理论物理学思想的应用。 主要结果是由于S.唐纳森在20世纪80年代初发起了整个项目,最近又向N。Seiberg和E.维滕。 规范理论的方法被证明是非常富有成效的,并导致许多困难的问题的解决。 研究人员正在应用这些现代方法,以取得进展的又一个长期存在的问题,拓扑结构的同源协边组的同源3-球,这将提供新的见解流形结构。 ***

项目成果

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