Topics in Geometry and Dynamics

几何和动力学主题

基本信息

  • 批准号:
    1503883
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 45.26万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    美国
  • 项目类别:
    Standard Grant
  • 财政年份:
    2015
  • 资助国家:
    美国
  • 起止时间:
    2015-07-01 至 2019-06-30
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

This research project concerns the analysis of the patterns that emerge when a simple geometric construction is repeated indefinitely. An example of a geometric problem having to do with the arrangement of shapes in space is: If one (endlessly) glues together equilateral triangles so that 7 triangles go around each vertex, is it possible to embed the resulting surface in 3-dimensional space? An example of a problem having to do with geometric shapes in the plane is to determine the possible shapes swept out by the path of a frictionless ball as it rolls (endlessly) around the inside of a polygonal table and bounces off the sides. Such processes occur both in nature and in a purely abstract mathematical context, and often produce mysterious, intricate, and beautiful patterns. These processes have connections to number theory, geometry, and physics. This research project studies these processes via numerical simulation to generate hypotheses that are subsequently confirmed or disproved via rigorous mathematical justification.Speaking more technically, the principal investigator will continue investigations into geometric dynamics, concentrating on polytope exchange transformations and outer billiards. One common theme in this work is the construction of higher dimensional compactifications of non-compact low-dimensional dynamical systems. Another common theme is the appearance of renormalization phenomena. In the situation of interest, one has a fiber bundle where the base space is the parameter space and each fiber is a polytope exchange transformation based on the parameter it lies over. The goal is then to find an auxiliary transformation of the base space which relates the dynamics at the fiber over one point to the dynamics of the fiber over the image of the point under the transformation. For instance, this seems to happen when one studies the symbolic dynamics of a process, and this project aims to find a general theory for this. The principal investigator will also study a number of geometric iterations, such as the pentagram map, a projectively natural map on the space of polygons that is related to integrable systems and cluster algebras. Finally, the principal investigator plans to attack a number of longstanding unsolved problems in geometry, such as the square peg conjecture.
这个研究项目关注的是当一个简单的几何结构无限重复时出现的模式的分析。一个与空间形状排列有关的几何问题的例子是:如果一个(无休止地)将等边三角形粘合在一起,使得每个顶点周围有7个三角形,那么是否有可能将结果表面嵌入到三维空间中?一个与平面上的几何形状有关的问题的例子是,当一个无摩擦的球围绕多边形桌子的内部(无休止地)滚动并从侧面反弹时,确定它的路径所扫出的可能形状。这样的过程既发生在自然界中,也发生在纯粹抽象的数学环境中,并且经常产生神秘、复杂和美丽的图案。这些过程与数论、几何和物理有关。本研究项目通过数值模拟来研究这些过程,以产生假设,然后通过严格的数学论证来证实或反驳这些假设。从技术上讲,首席研究员将继续研究几何动力学,专注于多面体交换变换和外部台球。这项工作的一个共同主题是构建非紧化低维动力系统的高维紧化。另一个共同的主题是重整化现象的出现。在我们感兴趣的情况下,我们有一个纤维束其中基空间是参数空间每根纤维是基于它所处参数的多面体交换变换。然后我们的目标是找到基空间的一个辅助变换,它将光纤在一点上的动力学与光纤在变换下的点的像上的动力学联系起来。例如,当一个人研究一个过程的符号动力学时,这种情况似乎就会发生,而这个项目旨在为此找到一个通用的理论。首席研究员还将研究一些几何迭代,例如五角星映射,这是一种与可积系统和聚类代数相关的多边形空间上的射影自然映射。最后,首席研究员计划攻克一些长期未解决的几何问题,比如方钉猜想。

项目成果

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