Elastische Registrierung dreidimensionaler Formen durch kombinatorische Optimierung

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Mit der stetig zunehmenden Verfügbarkeit dreidimensionaler Bilddaten wächst der Bedarf nach Verfahren, die solche Daten maschinell interpretieren. Eines der grundlegendsten und wichtigsten Probleme in diesem Kontext ist die Registrierung dreidimensionaler Formen und die damit eng verbundene Bestimmung der Ähnlichkeit dieser Formen. Sie ist Grundlage für Verfahren zur Formerkennung und zur Modellierung der Statistik von Formen, welche beispielsweise in medizinischen Anwendungen von großer Bedeutung sind. In diesem Projekt sollen neuartige Verfahren zur Registrierung zweier dreidimensionaler Formen entwickelt werden. Genauer gesagt soll eine Abbildung zwischen den Oberflächen beider Formen bestimmt werden, welche sich entsprechende Regionen in Korrespondenz setzt. Um eine sinnvolle Formregistrierung zu beschreiben, muss diese Abbildung stetig und orientierungserhaltend sein. Andererseits soll die physikalische Energie der durch die Abbildung beschriebenen Deformation minimal sein. Mathematisch führt dieser Ansatz zu einem sehr schwierigen, nicht-konvexen Optimierungsproblem. Hier soll ein Ansatz verfolgt werden, der auf kombinatorischer Optimierung basiert und somit unerwünschte lokale Minima nach Möglichkeit vermeidet. Dabei steht man zwei großen Herausforderungen gegenüber: Zum einen stellt sich die Frage, wie man das kontinuierliche Registrierungsproblem so diskretisieren kann, dass es sich als kombinatorisches Optimierungsproblem zumindest approximativ optimal lösen lässt. Zum anderen gilt es, effiziente Algorithmen einzusetzen, um die entstehenden Probleme in annehmbaren Rechenzeiten zu lösen, denn die Problemgröße wächst typischerweise quadratisch in der Anzahl der Ecken der Ausgangsformen. Die Energie der optimalen Registrierung kann als Abstandsmaß für Formen interpretiert werden. Als Anwendung soll die dadurch induzierte Statistik auf dem Raum der Formen genauer untersucht werden.