Dispersive and Wave Equations in the Presence of Background Geometry
背景几何存在下的色散方程和波动方程
基本信息
- 批准号:2054910
- 负责人:
- 金额:$ 28.03万
- 依托单位:
- 依托单位国家:美国
- 项目类别:Standard Grant
- 财政年份:2021
- 资助国家:美国
- 起止时间:2021-06-01 至 2025-05-31
- 项目状态:未结题
- 来源:
- 关键词:
项目摘要
This project seeks to further the understanding of solutions to the wave equation on geometric backgrounds. To achieve the requisite accuracy, GPS, for example, relies on general relativity, which in turn postulates that gravity is the result of a curved space-time on which waves travel rather than an external force. And in many applications involving nonlinear equations, the governing systems have geometry that depends on the solution but the solution in turn depends on the geometry. Einstein’s equations, which are at the heart of general relativity and determine the evolution of a universe from a given starting state, can be realized as such a system of wave equations in certain coordinate systems. On background geometries, waves flow along special curves called geodesics rather than rays as is more familiar. A phenomenon called trapping occurs when some of these geodesics remain in a bounded set for all time. This occurs, for example, on known black hole space-times where there are indeed regions where light orbits the black hole rather than tending toward infinity. Trapping is a known obstruction to typical measures of dispersion, and a major focus of this project is to precisely quantify its effect in numerous scenarios. The project provides research training opportunities for both undergraduate and graduate students.The problems to be examined largely focus on integrated local energy estimates, which are generalizations of the original estimates of Morawetz, and their application to nonlinear equations. Major initiatives include improving our understanding of such estimates in the presence of trapping and on non-stationary backgrounds. The construction of space-times with degenerate trapping provided the first examples where an algebraic loss of regularity is both necessary and sufficient for recovering local energy estimates. Numerous questions related to these examples remain unexplored, including the discovery of space-times with degenerate trapping outside of the highly symmetric warped product setting. Local energy estimates can be used to establish long-time existence for nonlinear equations and have particular benefits in the presence of background geometry. Planned work related to this include the examination of wave equations on half-spaces and applications of a related weighted estimate of Dafermos and Rodnianski to critically damped equations related to the Strauss conjecture.This award reflects NSF's statutory mission and has been deemed worthy of support through evaluation using the Foundation's intellectual merit and broader impacts review criteria.
这个项目旨在进一步理解几何背景下的波动方程的解。例如,为了达到必要的精度,全球定位系统依赖于广义相对论,而广义相对论又假设引力是波在弯曲的时空中传播的结果,而不是外力。在许多涉及非线性方程的应用中,控制系统的几何形状取决于解,但解又取决于几何形状。爱因斯坦方程是广义相对论的核心,它决定了宇宙从给定的起始状态开始的演化,可以在某些坐标系中实现为这样一个波动方程系统。在背景几何体上,波沿沿着称为测地线的特殊曲线流动,而不是像我们更熟悉的那样沿射线流动。当这些测地线中的一些始终保持在有界集合中时,发生称为捕获的现象。例如,这种情况发生在已知的黑洞时空中,在那里确实存在光围绕黑洞而不是趋向无穷大的区域。捕集是一个已知的障碍,典型的分散措施,该项目的一个主要重点是精确地量化其在许多情况下的影响。该项目为本科生和研究生提供了研究培训的机会。要研究的问题主要集中在集成的本地能量估计,这是Morawetz的原始估计的推广,以及它们在非线性方程中的应用。主要的举措包括提高我们的理解,这种估计存在的陷阱和非静止的背景。具有简并捕获的时空的构造提供了第一个例子,其中正则性的代数损失对于恢复局部能量估计是必要且充分的。与这些例子相关的许多问题仍然没有被探索,包括发现在高度对称的翘曲乘积设置之外具有简并捕获的时空。局部能量估计可用于建立非线性方程的长期存在性,并且在背景几何的存在下具有特别的益处。与此相关的计划工作包括检查波动方程的半空间和应用相关的加权估计Dafermos和Rodnianski临界阻尼方程有关的施特劳斯猜想。这个奖项反映了NSF的法定使命,并已被认为是值得通过评估使用基金会的智力价值和更广泛的影响审查标准的支持。
项目成果
期刊论文数量(2)
专著数量(0)
科研奖励数量(0)
会议论文数量(0)
专利数量(0)
On a system of weakly null semilinear wave equations
- DOI:10.1007/s13324-022-00730-5
- 发表时间:2022-04
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- 影响因子:1.7
- 作者:Jason Metcalfe;Alexander Stewart
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- 作者:Metcalfe, Jason;Rhoads, Taylor
- 通讯作者:Rhoads, Taylor
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