分岐被覆、微分方程式およびモジュライ空間を通じた代数曲線束のジオグラフィーの研究

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代数曲線束の不変量を座標としたジオグラフィーの問題に関して，本研究課題では, (i)代数曲線束やそのファイバーに対して条件を課し，その条件を満たす代数曲線束の相対的標準因子の自己交点数，相対標準束の次数（相対的オイラー・ポアンカレ標数）およびファイバーの種数などの不変量の間の不等式関係を得ること，(ii) 代数曲線束の不変量を組を座標空間に点としてプロットするとき，実在する代数曲線束に対応する点が(i)で得た不等式を満たす領域をどの程度埋めつくすかを，代数曲線束を大量に構成する方法を開発して具体的に代数曲線束を与えることによって究明する，ことを目的とする．本研究課題の前年度までに行った研究により，射影直線束のガロア3重被覆や一部の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束に関して，代数曲線束の相対標準因子の自己交点数と相対的オイラー・ポアンカレ標数の比であるスロープの下限が存在すること，スロープを固定したときに相対的オイラー・ポアンカレ標数に下限があることを明らかにし，加えて，この下限がファイバーの種数の値が3を法として2に合同である場合とそうではない場合に異なることを確認できている．今年度は，昨年度に得た射影直線束の非ガロア3重被覆で与えられる代数曲線束のスロープの値を固定したときの相対的オイラー・ポアンカレ標数の下限を与えるような代数曲線束の構成を試みた．下限を与える代数曲線束の構成はできなかったが，具体的に条件に合致する射影直線束上の非ガロア3重被覆の構造をもつ代数曲線束を多数構成して，それらのファイバーの種数と相対的オイラー・ポアンカレ標数を座標とする点を座標平面上にプロットしたときに，座標平面上を埋める範囲を確認することができた．