保型微分方程式の視点からの保型形式・準保型形式と頂点作用素代数の対応に関する研究

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本年度は，保型線形微分方程式および保型線形微分作用素に関する研究において研究結果の論文化及び研究集会講演を実施し，講演聴講者との活発な議論を行った．特に，本研究結果を用いた新たなモジュラー形式への応用の可能性について知見を得ることができた．（本研究は，大阪大学・永友清和氏とマックスプランク研究所・D. Zagier氏との共同研究である．）本研究については，現在投稿中である．また，単純ヴィラソロ頂点作用素代数の(2, N) (Nは５以上の奇数) 型の指標関数と，大阪大学・伊吹山知義氏が系統的に定義した分数重さのモジュラー形式との対応関係を与え，頂点作用素代数の知見を用いて整数論の立場から与えられた種々の結果の別証明を与えた．特に，ベクトル値モジュラー形式の観点から考察を行うことにより，分数重さのモジュラー形式の空間の(部分的な)生成元が満たす保型線形微分方程式の存在を証明した．さらに，テータ群上での保型線形微分方程式の一般形を整備し，特定の有理的な頂点作用素超代数の指標関数が，2階または４階のテータ群上での保型線形微分方程式の解になることを示した．また，モジュラー群上での2階保型線形微分方程式（Kaneko-Zagier方程式)の類似の対象として，テータ群上でのKaneko-Zagier方程式を定義し，その解として現れるdepth１のextremal な準モジュラー形式と頂点作用素超代数の指標関数との対応関係を再構築した．本件については，昨年度からの継続研究であるが，Kaneko-Zagier方程式と同様に対応するデルタ関数(または，Dedekind eta関数の積・商)の類似物の取り方の正当性について改めて確認をした．（本研究は，大阪大学・永友清和氏と鹿児島大学・有家雄介氏との共同研究である．）