高次元ゲージ場のモジュライ空間とそのコンパクト化

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本年度は、昨年度に得られたツイスター方程式と四元数部分多様体との関係についての結果を四元数対称空間上のベクトル束に適用することにより、ほとんどすべての四元数対称空間内の四元数部分多様体がツイスター切断の零点として実現できることを示すことに成功した。キーポイントは、等質ベクトル束の一般的なツイスター切断が零切断と横断的に交わることを統一的に導く方法を確立したこと、および昨年度の結果とBott-Borel-Weil理論を組み合わせることにより、ツイスター切断の零点集合の連結性を示せたということである。この結果はモジュライ空間についての考察に次の2点で関連してくる。1.リー群Spin(7),G_2型の四元数対称空間において、G_2,A_2型の四元数対称空間がツイスター切断の零点集合として得られることがわかる。この事実をツイスター空間上で考慮することにより、Koszul複体と呼ばれるある層の完全系列を得ることができる。するとこれら四元数部分多様体上のASD束に関するコホモロジーの情報が求めたいコホモロジーの情報を与えることがわかる。このようにして、Spin(7),G_2型の四元数対称空間上のあるASD接続の「モジュライ空間の完備性」を証明することに成功した。2.モジュライのコンパクト化においてモジュライの「境界」に現われる「特異ベクトル束」の特異点集合とベクトル束との関係を見出すことが重要課題である。さまざまな四元数対称空間上でこの特異点集合を特定することが可能となった。したがって、そのポアンカレ双対はツイスター作用素の定義されているベクトル束の次数のもっとも高いチャーン類であることがわかる。2番目の結果が示すように、モジュライ空間は底空間の幾何学を理解するうえで、ますますその重要性を増してきていると思われる。この点の解明が今後の課題である。