Non-equilibrium dynamics of integrable quantum systems: An algebro-geometric approach to quantum solitons with exact numerical solutions

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相互作用するボースアインシュタイン凝縮体(BEC)における巨視的波動関数の静的および動的な振る舞いは、特に長距離あるいは長波長の振る舞いに関して、グロス・ピタエフスキー（GP）方程式によって良く記述されると考えられている。１次元系のGP方程式において相互作用定数が正で斥力的な場合、ダークソリトン解が出現する。リープ・リニガー（LL）模型は一次元ボース気体の理論模型である。可解であり、相互作用定数が斥力的な場合、ベーテ仮設を用いて全ての固有状態が導かれる。このLL模型の第二量子化模型では、対応する量子ハイゼンベルグ方程式はGP方程式と一致する。このため、量子場の古典極限を仮定すると、GP方程式のソリトン解に対応するLL模型の量子状態の存在が期待される。興味深いことに、１ホール励起状態の和の状態から、密度プロファイルでダークソリトンが導かれることが示された。昨年度の研究で、古典極限と量子状態の対応が自明でないことを示す例が具体的に見出された。一昨年度に、位相プロファイルの巻き数(winding number)がゼロでないダークソリトンを導く量子状態が構築された。昨年度、衝突する２ソリトンの量子状態を構築し、その位相プロファイルを導いた。すると、量子系の時間発展の中で巻き数は変化し、保存されなかった。古典系の時間発展では、位相の巻き数は保存されるが、量子系ではそうとは限らない。BECの凝縮率の有限サイズスケーリングに関する研究を論文として発表することが出来た。有限サイズのLL模型の量子状態においてダークソリトンが出現したのは、BECの凝縮率が１に近いためであると考えられる。１次元系で相互作用定数がゼロでない場合、凝縮率はサイズ無限の極限でゼロになる。このため、サイズを大きくすると同時に相互作用定数を小さくすることによって、量子状態でダークソリトンの出現が可能となる。