統計力学の可解格子模型と結び目理論

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3次元空間中の多角形に対して絡み目不変量を計算し、その多角形の結び目型を判定するプログラムを開発した。多角形の頂点の座標から出発して、多角形の射影図(リンク・ダイアグラム)を求め、これからヴァッシリエフ不変量を算出するというものである。ポイントは、計算時間が多項式時間であることと、不変量の算出において数値的発散を回避することができることである。このプログラムを用いて、環状高分子やランダムポリゴンなどの物理系の結び目の発生率の統計的性質を解析した。環状高分子における結び目発生率は、そのエントロピーを絡み合い効果を考慮して求めることに相当する。理想鎖を用いた数値実験の結果、結び目発生率のスケーリング的振る舞いが見出された。すなわち、環状高分子の長さNに対して、特定の結び目Kが発生する確率P_K(N)はP_K(N)=C(K)N^<υ(K)>exp(-N/N(K))で与えられることが分かった。ここで、υ(K)、N(K)、C(K)は実験値に対する数値パラメターである。この発見は、DNAの物理的模型の解析など、高分子の統計力学において重要であると考えられる。量子群の1のべき根表現を用いて構成される、色つき絡み目多変数不変量のヒエラルキーの性質を調べた。このヒエラルキーは最初の不変量として古典的な不変量である(多変数)アレクサンダー多項式を含む。具体的には、鏡像の結び目や平行絡み目に対する色つき絡みめ不変量の値を、量子群の1のべき根表現の3j係数などを用いて計算した。アレクサンダー多項式は鏡像を区別せず、任意の平行絡み目に対して0を与えることが知られているので、古典的不変量との対応をみることができる。計算の結果、色つき絡みめ不変量のヒエラルキーは一般には鏡像を区別し、また,平行絡み目に対して一般には0でない値を与えることが分かった。よって、ヒエラルキーの中に古典的不変量からは得られない新しい情報が含まれていると結論される。