新しい幾何学的フローを用いたK-安定でないFano多様体の研究

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J-方程式はコンパクトKahler多様体上の標準計量の1つであり，DonaldsonとChenによって2000年代前半に導入された．この方程式はスカラー曲率一定Kahler計量の存在問題とも密接に関係しており，多くの専門家からの注目を集めている．スカラー曲率一定Kahler計量には勾配項を含む一般化としてCalabiのextremal Kahler計量があるが，この対応物をJ-方程式に対して考えようとしたときに，modified J-方程式が自然に思い付く．2016年にLi-Shiはmodified J-方程式に対してsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性はsubsolutionの存在と同値であることを示した．しかしながら，subsolutionの存在は依然として解析的な条件であり，実用的な判定法とは言い難い．そこで，今年度はtoric多様体の場合にmodified J-方程式の解が存在するための数値的な必要十分条件を，Nakai-Moishezon判定法を参考にしながら構成した．Nakai-Moishezon判定法はコホモロジー類のKahler性を判定する方法としてよく知られている．今回私が構成した判定法は勾配項の寄与を含み，そのベクトル場が生成する多様体上のtorus作用に付随した同変コホモロジー類と，各toric部分多様体との交叉数によって記述される．また，modified J-方程式のtwisted版に対してもsubsolutionの概念を導入し，方程式の可解性とsubsolutionの存在が同値であることを放物型のフローを用いて証明した．この結果は既に論文としてまとめ，arXivで公開中である．また，昨年度までの研究成果と合わせて既にいくつかのセミナーや研究集会で発表している．