Spectral theory for unitary operators and its applications to scattering theory

量子力学に関連する数理モデル、特にシュレーディンガー方程式と量子ウォークに対する時間定常的な散乱理論では、要所にユニタリ作用素が現れる。散乱波に含まれる散乱行列は、あるコンパクト多様体上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素である。離散時間量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用ととコイン作用素からなるユニタリ作用素で記述される。いずれの場合も、散乱理論の立場から、ユニタリ作用素のスペクトルの構造を明らかにすることを目的として研究を進める。今年度は、量子ウォークの研究に関して以下の成果を得た。(1)ある特殊な多次元量子ウォークを用いて、ハミルトン系に従う古典力学的粒子がなす軌道の類似物を定義した。これにより、閉軌道を持つ量子ウォークは必ず固有値を持つことを確認した。これはボーア-ゾンマーフェルトの量子化条件に対応するものとみることができる。さらに、閉軌道に対して摂動を行うことにより、閉軌道に由来する固有値であったものが共鳴極へと連続的に移行することを確認した。より一般に、非透過可能な障壁によって完全な閉じ込めが生じる量子ウォークに対する摂動を用いて、元の系の固有値の近傍に共鳴極が現れることを示した。(2)有限な範囲で摂動を持つ量子ウォークの定常状態に対し、その摂動中に残留する状態が実際にどの位置に分布するのかを一定の条件下で詳しく調べた。その結果、状態が持つ擬エネルギーが摂動中の連続スペクトルの(i)内点かつその中心付近、(ii)内点かつ端点付近、(iii)端点、(iv)外部の4つの場合で大きく挙動が分かれることが明らかになった。物理的には、(i)高エネルギー、(ii)低エネルギー、(iii)閾値、(iv)ポテンシャル障壁を越えるトンネル効果に相当し、直観を裏付ける結果となっている。

量子力学に関連する数理モデル、特にシュレーディンガー方程式と量子ウォークに対する時間定常的な散乱理論では、要所にユニタリ作用素が現れる。散乱波に含まれる散乱行列は、あるコンパクト多様体上のヒルベルト空間におけるユニタリ作用素である。離散時間量子ウォークの時間発展作用素は、シフト作用ととコイン作用素からなるユニタリ作用素で記述される。いずれの場合も、散乱理論の立場から、ユニタリ作用素のスペクトルの構造を明らかにすることを目的として研究を進める。今年度は、量子ウォークの研究に関して以下の成果を得た。(1)ある特殊な多次元量子ウォークを用いて、ハミルトン系に従う古典力学的粒子がなす軌道の類似物を定義した。これにより、閉軌道を持つ量子ウォークは必ず固有値を持つことを確認した。これはボーア-ゾンマーフェルトの量子化条件に対応するものとみることができる。さらに、閉軌道に対して摂動を行うことにより、閉軌道に由来する固有値であったものが共鳴極へと連続的に移行することを確認した。より一般に、非透過可能な障壁によって完全な閉じ込めが生じる量子ウォークに対する摂動を用いて、元の系の固有値の近傍に共鳴極が現れることを示した。(2)有限な範囲で摂動を持つ量子ウォークの定常状態に対し、その摂動中に残留する状態が実際にどの位置に分布するのかを一定の条件下で詳しく調べた。その結果、状態が持つ擬エネルギーが摂動中の連続スペクトルの(i)内点かつその中心付近、(ii)内点かつ端点付近、(iii)端点、(iv)外部の4つの場合で大きく挙動が分かれることが明らかになった。物理的には、(i)高エネルギー、(ii)低エネルギー、(iii)閾値、(iv)ポテンシャル障壁を越えるトンネル効果に相当し、直観を裏付ける結果となっている。