Generalized Hodge conjecture and Lefschetz-Milnor theory for Hilbert schemes

Hilbert 格式的广义 Hodge 猜想和 Lefschetz-Milnor 理论

基本信息

批准号：
20K20879
负责人：
島田伊知朗
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Challenging Research (Exploratory)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-07-30 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

複素上半平面上のJ関数とモンスター群に関するムーンシャイン現象の類似が，K3曲面の楕円種数と位数244823040のマシュー群に対しても成立するであろうというマシュー・ムーンシャイン予想が，2011年に Eguchi-Ooguri-Tachikawa により提出された．この予想は2014年に Chen, Duncan, Harvey らにより，ルートを持つ Niemeier 格子の各クラスに対して定式化され，アンブラル・ムーンシャイン予想と呼ばれるようになった．A_1 型ルート系の24個のコピーを含む Niemeier 格子の場合が元々のマシュー・ムーンシャイン予想に対応する．この予想はその後多くの研究者によって様々な角度から調べられてきた．研究代表者は，K3曲面の自己同型群を計算するために，K3曲面のピカール格子を階数が 26 のユニモジュラーな双曲格子に埋め込み，この双曲格子のワイル群に関する基本領域についての Conway の仕事を援用するという方法を用いてきた．Conway の仕事はピカール数が 26 の仮想的な（存在しない）K3曲面についての代数幾何学の言葉により解釈することができる．このアイデアに基づいて，K3曲面の自己同型群についてのアルゴリズムを，階数が 26 のユニモジュラーな双曲格子に適用し，ムーンシャイン予想に幾何学的にアプローチすることを目指した．この過程においてリーチ格子の新しい構成法をいくつか発見した．また，特にK3曲面の楕円ファイブレーションから自己同型を計算するアルゴリズムを整備し，これを用いて大量の自己同型を見出す方法を構築した．

Matthew Moonshine预测于2011年由Eguchi-Ooguri-Tachikawa提交，即J-功能的月光现象与复杂上半年平面上的Monster组之间的相似性也将与Matthew组相似，也将与K3表面的244823040的椭圆形物种数量和椭圆形物种数量合作。该预测是由陈，邓肯，哈维和其他人在2014年为每个路由的尼米尔晶体制定的，并被称为“翁布拉尔·摩希预测”。包含A_1类型根系24个副本的Niemier晶格的情况对应于原始的Matthew Moonshine预测。此后，许多研究人员从各个角度检查了这一预测。为了计算K3表面的自形组，首席研究者使用了一种将K3表面的晶格嵌入26个等级的单型双曲线晶格中的方法，并协助Conway在该超纤维晶状体的Weil组的基本区域上的工作。 Conway的作品可以用代数几何形状的语言来解释，用于假设的（不存在）K3表面，具有26个PICARD数字。基于这个想法，我们应用了一种算法，用于将K3表面的自形的算法用于单型双曲线晶格的等级为26，旨在几何以月光预测。在此过程中，我们发现了几种构造触及晶格的新方法。此外，我们已经开发了一种用于计算K3表面椭圆纤维的自动形态的算法，并使用它来构建一种方法来查找大量自动晶体。