Generalized Hodge conjecture and Lefschetz-Milnor theory for Hilbert schemes

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複素上半平面上のJ関数とモンスター群に関するムーンシャイン現象の類似が，K3曲面の楕円種数と位数244823040のマシュー群に対しても成立するであろうというマシュー・ムーンシャイン予想が，2011年に Eguchi-Ooguri-Tachikawa により提出された．この予想は2014年に Chen, Duncan, Harvey らにより，ルートを持つ Niemeier 格子の各クラスに対して定式化され，アンブラル・ムーンシャイン予想と呼ばれるようになった．A_1 型ルート系の24個のコピーを含む Niemeier 格子の場合が元々のマシュー・ムーンシャイン予想に対応する．この予想はその後多くの研究者によって様々な角度から調べられてきた．研究代表者は，K3曲面の自己同型群を計算するために，K3曲面のピカール格子を階数が 26 のユニモジュラーな双曲格子に埋め込み，この双曲格子のワイル群に関する基本領域についての Conway の仕事を援用するという方法を用いてきた．Conway の仕事はピカール数が 26 の仮想的な（存在しない）K3曲面についての代数幾何学の言葉により解釈することができる．このアイデアに基づいて，K3曲面の自己同型群についてのアルゴリズムを，階数が 26 のユニモジュラーな双曲格子に適用し，ムーンシャイン予想に幾何学的にアプローチすることを目指した．この過程においてリーチ格子の新しい構成法をいくつか発見した．また，特にK3曲面の楕円ファイブレーションから自己同型を計算するアルゴリズムを整備し，これを用いて大量の自己同型を見出す方法を構築した．