平面曲線の特異点の配置と補集合の基本群

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PhoはCanadaのWilfrid Laurier UniversityのI.S.Kotsiereas教授との共同研究により,平面代数曲線の交点数を効率よく求めるアルゴリズムを開発した.これはPhoによるMaple package "SCURVE"のコマンドの一つとして実現されている.一般の4次の平面曲線の双対曲線の次数は12次であり24個の通常尖点をもつ.この双対曲線の定義方程式が,4次式fの3乗と6次式gの2乗の和として書き表されること,つまりトーラスタイプであることを示し,もとの4次曲線の定義方程式からfとgを求める簡単で美しい公式を見いだした。この定理の系として,非特異4次曲線の双対曲線の補集合の基本群から(4,6)-型のトーラスタイプの群への全射が存在することがわかる.上記の定理は,双対曲線のアフィン部分の定義方程式が1変数の4次式の判別式の引き戻しとして得られるという簡単な事実から証明される.この事実をもちいることにより,現在,平面曲線の双対曲線の補集合の基本群を計算中である。4次の平面曲線が4次のflex points(つまりその点における接線は曲線に4次の重複度をもって接する)を持つ場合,双対曲線にはE_6型の特異点が現れる.4次のflex pointsの個数の可能性.および個数が多い場合の4次曲線の定義方程式の標準型はすでに求められている.個数が多い場合の4次曲線の双対曲線の定義方程式をもとめ,その補集合の基本群のアレクサンダー多項式を計算した.その結果,ザリスキペアの新しい例を発見した.