平面曲線の特異点の配置と補集合の基本群

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一般の4次の平面曲線の双対曲線は,次数が12次であり,24個の通常尖点をもつ.この双対曲線の定義方程式が,4次式fの3乗と6次式gの2乗の和として書き表されること,つまりトーラスタイプであることを示し,もとの4次曲線の定義方程式からfとgを求める簡単で美しい公式を見いだした.特に,24個の通常尖点は4次曲線と6次曲線の完全交叉として得られることがわかる.この結果については,プレプリントにまとめ,現在投稿中である.正標数に特有な平面6次曲線の幾何学を,Artin-Rudakov-Shafarevichによる超特異K3曲面の理論を使って研究し,以下の諸結果を得た.(1)標数5においては,A_4型の特異点を5個もつ平面6次曲線が存在する.(複素数体上では,単純特異点のみをもつ平面6次曲線の総ミルナー数は高々19である.5A_4の総ミルナー数は20であるから,このような曲線は正標数特有のものであることに注意されたい.)(2)標数5におけるArtin不変量が【less than or equal】3の超特異K3曲面は,A_4型の特異点を5個もつ平面6次曲線で分岐する射影平面の2重被覆になる.(3)標数5における5A_4型の特異点をもつ平面6次曲線は,座標をうまくとることにより,必ずy^5 = f (x) (fは6次式)のかたちの方程式により定義される.系として,有名な未解決問題であるArtin-Shioda予想の新しい肯定的証拠を得る.(4)標数5におけるArtin不変量が【less than or equal】3の超特異K3曲面は単有理である.これらの結果については,現在論文にまとめている最中である.