New developments of computer-aided research in algebraic geometry

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引き続き，K3曲面の自己同型群の生成系を数値的ネロン・セヴェリ格子のデータから計算機を用いて決定する方法の研究を行った．K3曲面の自己同型群の生成系は，数値的ネロン・セヴェリ格子の直交群の元の集合として，一般化された Borcherds-Kondo 法により求めることが（原理的には）できる．しかしこれらの生成元の幾何学的意味を数値的ネロン・セヴェリ格子への作用だけから知ることは一般的に難しい問題である．そこで，自己同型群の生成系を幾何学的に実現するために，切断を持つ楕円K3曲面の Mordell-Weil 群の元の数値的ネロン・セヴェリ格子への作用を計算する方法を開発した．また，生成系により与えられた自己同型群の部分群に与えられた別の元が含まれるかどうかを調べる方法を開発した．この方法は，いままで見つかっている生成系に含まれる元のランダムな語を作ってあらたに見つかった別の自己同型を近似し，その近似の精度を上げていくという確率的なものである．さらにK3曲面上の楕円ファイブレーションを自動的に見つけていくプログラムを書いた．これらの方法を組み合わせることで，K3曲面の自己同型群の生成系で，各元の幾何学的な意味がわかっており，かつ冗長度の小さなものを作ることが可能になる．例として，トーラス型の6-cuspidalな6次曲線に沿って分岐する射影平面の二重被覆として得られるK3曲面の自己同型群の幾何学的生成系を求めた．この生成系は 463+360 個の元からなる．このK3曲面はBorcherds- Kondo 法によるネフ錐の有限多面体への分割への自己同型群の作用が複数の軌道を持つ（すなわち simple Borcherds type ではない）という意味でも興味深い例である．このアルゴリズムは他にも広く応用を持つことが期待される．