凸幾何の観点からのシンプレクティック不変量の研究

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１．ユークリッド空間の中心対称な凸体とその極凸体の体積の積をMahler体積という。n次元凸体に対して、Mahler体積の最小値は(4のn乗)/n!であると予想されている。これはMahler予想（1939年）と呼ばれ、凸幾何学の分野での古典的な未解決問題の一つである。2次元の場合には、Mahler自身により1938年に解決されているが、3次元以上では部分的結果は知られているものの、未解決であった。研究分担者である柴田将敬氏（名城大学）と共同で、この予想を3次元の場合に完全解決した論文は令和２年度に出版されたが、これは、本研究計画の立案の出発点でもある。この「3次元対称凸体のMahler予想の解決」の業績が評価され、2022年度日本数学会幾何学賞を柴田氏と共同で受賞した。２．令和２年度に、3次直交群のいくつかの系列の離散部分群の対称性をもつ3次元凸体のMahler体積の下からの最良評価と等号成立条件に関してプレプリントを完成させていたが、この論文がDiscrete and Computational Geometry誌から出版された。３．上記２の研究で残った系列での、３つの対称性の場合のMahler体積の下からの評価の研究に着手した。先行研究よりも少ない対称性で議論するため困難が大きくなるが、符号付体積評価に加えて、equipartitionの方法を使うことで最良評価が得られる見込みである。以上は、研究分担者である柴田氏との共同研究である。