凸体の配置の幾何とファジー数理

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平成10年度においては、(1)ファジイグラフによるモデル化とその解析を行なった。すなわち、コッジイ(L.T.Koczy)の「根付き樹木」のファジイグラフに対する評価関数を最大にする最適問題を、より一般的なネットワークの場合、すなわち「ファジィタワーグラフ」の場合に考察し、解析した。これは通信ネットワークに現われる階層構造を自然にモデル化したものであり、これについて、(a)評価関数を具体的に決定し、(b)評価関数が下がる場合の一般論を与えたこと、(c)評価関数を最大にするグラフの特徴付けを行なった。今回得られた最適値を決定する結果は通信理論において広範な応用をもつものと期待される。これらの結果は、論文にまとめられ、現在、投稿中である。(2)アファイン微分幾何と情報幾何学に関連する未解決問題と今後の解決すべき問題をそれぞれの専門家より募り、合計18個の問題を集め、これに必要な若干の解説と文献を与え、非専門家やこれから研究を始める若い研究者の便宜を図りまとめた。(3)等質空間上において、不変な射影的に平坦なアファイン接続を許容するための必要十分な判定条件を与え、この応用として、リーマン対称空間上において、射影的に平坦なアファイン接続を許容するものを分類し、決定した。(4)リッチ曲率がn-1以上で(ただしnは多様体の次元)、第1固有値がn以上、(4/n+1)(n-1)以下の単連結、既約なリーマン対称空間は標準球面に限ることを示した。この応用としてエルワーシー(Elworthy)とローゼンバーグ(Rosenberg)の、コンパクトリー群において、断面曲率と第1固有値との間のある関係式が成立するか否かについての予想について、このような関係式が成り立つのはコンパクトリー群が3次元球面の場合に限ることを示し、彼らの予想が成り立たないことを示した。