有限群と頂点作用素代数の様々な予想の解決に向けて

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本年度は主に原田予想IIの解決について, 新しい観点からの研究に取り組んだ.原田予想IIは,有限群の共役類の基数の積と既約次数の積の比が整数になるという予想である.有限群 G に対し,その比 h(G) を原田数と呼ぶが, h(G)の平方が群の群環の中心の自然なエルミート形式の共役和から得られる基底に関するグラム行列式の絶対値を群の中心化部分群の位数の積で割った比になることは, 既に本研究課題の成果として得られている.本年度の大きな成果の一つは,この原田数 h(G)を,群の中心的部分群とその既約指標を用いて一般化したことである. 更に,一つ中心的部分群を固定すると, その既約指標に対し定まる一般化された原田数をすべての既約指標にわたって掛け合わせることで,原田数が復元できることも証明した.この原田数の因子分解を用いて,既約指標を経由しない形で多くのべき零群の原田数を再計算できた。一方で、原田数は中心的部分群を固定したときの一般化した原田数の積であることから、この一般化した原田数が整数であれば、原田予想IIが解決されることが分かる。具体例でこのことを検証すると、二面体群の場合において、非整数が現れることが分かったため、単純に原田予想の解決につながらないことも確認できた。頂点作用素代数についての予想として, ムーンシャイン頂点作用素代数の一意性問題及びオービフォールド模型のC2余有限性について継続して考察した. 残念ながら大きな進展は得られなかったが, twisted 加群の構成について現在少し考察を深め, 自己同型の存在とtwisted 加群の構成との関係を明らかにすることで大きな進展が得られると期待している。