ホップ代数のゲージ不変量とテンソル圏の研究

本年度は、まず昨年度から行っていた有限的テンソル圏のユニモジュラー性に関する研究を行い、これまで得ていた結果を単位対象が既約とは限らない場合へと拡張した。また、ユニモジュラーな有限的リボン圏はVirelizierの意味での代数的Kirby元を持つことを示し、これによって有限次元ユニモジュラーホップ代数から構成される閉三次元多様体のHennings-Kauffman-Radford不変量を有限的リボン圏へと一般化することにも成功した。一般に、その右随伴と左随伴が同型であるような関手はフロベニウス関手であると言われる。上述の結果においては、有限的テンソル圏Cの中心Z(C)からCへの忘却関手のフロベニウス性が『モジュラー対象』と呼ばれる、有限次元ホップ代数上のモジュラー関数の圏論的類似物によって記述されるという結果が重要であった。そこで、本年度は、テンソル関手の随伴に関する研究を行い、有限的テンソル圏の間のある種の条件を満たすテンソル関手F : C → D の右随伴と左随伴の『差』を、CとDのモジュラー対象を用いて記述することに成功した。この結果は、有限次元ホップ代数の拡大のフロベニウス性に関するFischman, Montgomery, Schneiderの結果を一般化するものであり、応用として彼らの結果の『組みひも版』も得られている。以上の研究においては、有限的テンソル圏C上の『C-加群圏』を扱うテンソル圏の表現論とでも言うべき理論が重要である。特に、上述の結果を得る上では、C-加群関手のフロベニウス性が重要であることがわかってきた。そこで、このような理論におけるC-加群関手の随伴を統括的に扱うために、C-加群圏に対する『セール関手』およびその一般理論について研究を行った。有限次元ホップ代数及び有限的テンソル圏の理論において重要であるRadfordのS4-公式や、上述のテンソル関手のフロベニウス性に関する定理はセール関手の一般的性質から得られるということが明らかになった。

本年度は、まず昨年度から行っていた有限的テンソル圏のユニモジュラー性に関する研究を行い、これまで得ていた結果を単位対象が既約とは限らない場合へと拡張した。また、ユニモジュラーな有限的リボン圏はVirelizierの意味での代数的Kirby元を持つことを示し、これによって有限次元ユニモジュラーホップ代数から構成される閉三次元多様体のHennings-Kauffman-Radford不変量を有限的リボン圏へと一般化することにも成功した。一般に、その右随伴と左随伴が同型であるような関手はフロベニウス関手であると言われる。上述の結果においては、有限的テンソル圏Cの中心Z(C)からCへの忘却関手のフロベニウス性が『モジュラー対象』と呼ばれる、有限次元ホップ代数上のモジュラー関数の圏論的類似物によって記述されるという結果が重要であった。そこで、本年度は、テンソル関手の随伴に関する研究を行い、有限的テンソル圏の間のある種の条件を満たすテンソル関手F : C → D の右随伴と左随伴の『差』を、CとDのモジュラー対象を用いて記述することに成功した。この結果は、有限次元ホップ代数の拡大のフロベニウス性に関するFischman, Montgomery, Schneiderの結果を一般化するものであり、応用として彼らの結果の『組みひも版』も得られている。以上の研究においては、有限的テンソル圏C上の『C-加群圏』を扱うテンソル圏の表現論とでも言うべき理論が重要である。特に、上述の結果を得る上では、C-加群関手のフロベニウス性が重要であることがわかってきた。そこで、このような理論におけるC-加群関手の随伴を統括的に扱うために、C-加群圏に対する『セール関手』およびその一般理論について研究を行った。有限次元ホップ代数及び有限的テンソル圏の理論において重要であるRadfordのS4-公式や、上述のテンソル関手のフロベニウス性に関する定理はセール関手の一般的性質から得られるということが明らかになった。