Research on the eigenvalues and the eigenfuctions of elliptic partial differential operators with applications to nonliear problems

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今年度は、球対称解において不完全分岐を起こすことが知られている（過去の私の研究成果）球面帽上の非線形楕円型偏微分方程式の Dirichlet 問題の正値解について研究し、Legendre の陪関数の性質を駆使して、非球対称な固有関数に対応する固有値の漸近的な挙動をまず解明した。その後、非球対称な固有関数の周りでの分岐解析を行い、非球対称な固有関数に関しては、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。これにより、球面帽領域での不完全分岐は球対称解のみで起こることが解明できた。また、同様な解析を、ユークリッド空間内の球における非線形楕円型偏微分方程式の第三種境界値問題にも適用した。この場合も、球対称解は不完全分岐を起こすことが知られている（過去の研究成果）が、Bessel 関数の性質を駆使した非球対称な固有関数の周りでの分岐解析により、球面帽領域で解明できたことと同様に、定数解に近い解からの局所分岐が起こっていることを解明した。但し、第三種境界条件のパラメータは、Neumann 境界条件に近い場合に限られる。これらの結果は、線形化固有値問題を精密に解析し、特殊関数の性質を駆使することによって得られたものである。これらの研究成果は、国内で開催された国際研究集会で１度、国内集会で複数回講演発表を行ったが、残念ながら今年度中に学術誌に投稿するまでは至らなかった。なお、本年発表の研究内容は、スイス・バーゼル大学の Catherine Bandle 名誉教授と明治大学総合数理学部の二宮広和教授との共同研究によるものである。