２次元ファイバー結び目の基本群とその指標多様体による分類

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本年度は，研究計画に従い branched twist spin の分類を指標多様体の観点から研究した．Branched twist spin は古典的な結び目と互いに素な整数の2組 m,n によって決まる2次元結び目であり，2次元結び目の中で重要な研究対象である．古典的な結び目の指標多様体の研究の起点の1つとして，有限群上の表現の数を計算する方法が知られているが，2次元結び目に対する計算はされていない.また，一般の指標多様体は計算機を使用しても計算することが非常に困難な対象であり，現在までに知られている古典的結び目の指標多様体に関する結果としては指標多様体の次元や特別な表現の個数(部分多様体としての連結成分)などである．そのため，以前は SL(2,C)-表現として結び目群から得られる指標多様体について考察を進めていたが，本年度は branched twist spin の結び目群には非自明な中心が存在することに着目し，非自明な中心を持つ群への表現を用いた指標多様体の考察を行った．特に得られている結び目群の表示と相性の良い binary Von Dyck 群に関して表現を考察することにより次の様な結果を得た．定理．Branched twist spin K^{m,n} に対し，SL(2,Z_3)-表現の数は以下の通りである. (1) m が4の倍数のとき表現の数は6つである．(2) m が4の倍数でない偶数のとき表現は存在しない. (3) m が3の倍数でない奇数のとき表現の数は1つである.注意として，m が3の倍数のときは結び目 K に依存するためまだ定式化できていない．また一般のSL(2,Z_p)-表現の数に関しては計算機でデータを収集中である．