正則曲線を通じた幾何構造の研究

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代数曲面上の特異曲線の幾何種数を保つ変形(equigeneric deformation)は, Severi多様体の既約性の問題との関わりなどから長年研究されているが, 結果が得られているのはFano曲面の場合とCalabi-Yau曲面の場合に限られており, より一般の曲面に対してはほとんど知られていることがない。困難な点は, 変形の障害となるコホモロジーの空間が大きく, モジュライ理論やlog幾何といった, 変形を解析する上で一般的に有効とされる手法が適用できない点にある。今年度は, Severi-Kodaira-Spencerによるsemiregularityおよび, 変形の障害の詳しい解析により, 任意の滑らかな代数曲面上の特異曲線について, equigeneric deformationが存在するための十分条件を得た。具体的には, 曲線を変形していくとほとんどの場合消滅しない障害が現れ, それ以上の変形が許されなくなってしまうのだが, 特異点の局所的な変形の自由度を詳しく解析することにより, ある条件が満たされる場合には, 障害が生じた場合は低次の変形にさかのぼって変形を修正し, 障害が消えるような変形を構成し直すという操作を繰り返すことにより, 最終的に変形が構成できることを示した。曲線の特異点が2次特異点の場合は必要十分条件となっている。また, 一般の特異点の場合は計算機を用いた実験により, ほとんどの場合に, 求められた十分条件はコホモロジー的な条件によって判定できることを見た。この場合は, 特異点の変形の次元が障害の次元を超えていれば満たされるという意味でoptimalな条件になっている。