リーマン面及びクライン面のモジュライ空間における最大単射半径関数の解析

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本研究課題では、閉リーマン面及び閉クライン面のそれぞれのモジュライ空間の上で定義された最大単射半径関数を研究する。この関数は、各閉リーマン面（または閉クライン面）に対してこの面上の各点に定まる単射半径のうちの最大値を対応させるものである。モジュライ空間におけるこの関数の最大値を与える曲面を極値的リーマン面（またはクライン面）と呼ぶ。最大単射半径関数は、モジュライ空間の被覆空間であるタイヒミュラー空間上の関数に持ち上げられ、この空間において解析を実行する。本年度は、向き付け不可能な曲面である種数３の極値的クライン面を考察した。この曲面は同型を除いて全部で11種類存在している。この曲面を閉クライン面のモジュライ空間ではなく、閉リーマン面のモジュライ空間に関連付けて研究を行った。この極値的クライン面の複素ダブルを取ることにより、種数２の閉リーマン面を構成し、そのフックス群の基本領域を双曲18角形として得ることができた。これは極値的リーマン面にはならない対称リーマン面である。対称リーマン面を研究するアプローチの１つとして代数方程式があり、代数方程式による記述は既に知られている。今回対象としている種数３の極値的クライン面の全自己同型群の構造は既に得られているため、この群構造と曲面の位相的情報からこの対称リーマン面を表す代数方程式が３つのパラメーターを含む形で表現されることが判明した。また、この対称リーマン面に対して全部で６個存在するワイエルシュトラス点の位置を確定することができた。このワイエルシュトラス点の情報を用いて双曲８角形である標準多角形を構成し、種数２の閉リーマン面のタイヒミュラー空間における座標を調べることができた。