高次元特異トーリック多様体の収縮写像の変形

（１）前年度までに、４次元の滑らかなトーリック弱ファノ多様体がファノ多様体に変形する現象についての結果を得ているが、今年度は、その高次元化の第一歩として、５次元の場合について同様の考察を行った。４次元の場合は、２次元の滑らかなトーリック弱デル・ペッツォ曲面の分類を必要としていたため、同様の手法によって５次元の理論を展開しようとすると、３次元の滑らかなトーリック弱ファノ多様体の分類表を参照する必要があり、計算量が飛躍的に増大し大変困難なものとなる。よって、多様体の分類に依存しない方法を模索しており、現在も考察中である。（２）変形理論に関連して、トーリック森理論方面の研究も欠かせないが、今年度は射影空間のトーラス不変点でのブロー・アップに対して、その反標準因子に関する極小モデルプログラムを考察した。すなわち、弱ファノ多様体を構成するということであるが、次元とブロー・アップする点の数によって、極小モデルがいつファノ多様体になるのかを完全に決定した。ファノ多様体になる場合でも、更に、束構造を持つ場合と森コーンの端射線が全て小さくなる場合とに分かれ、非常に興味深い現象を得た。引き続き、この構成で得たファノ多様体を様々な問題に応用することを考察していく。（３）滑らかなトーリック・ファノ多様体の第二チャーン指標が正であるとき、その多様体の構造を決定できるか、という問題も引き続き考えている。海外の研究によって、多少進歩があったようであるが、そこでの方向性は本研究とも近いものであった。今後も同様の方針で研究を進めて行く予定である。また、末端特異点を持つ場合に３次元で同様の問題を考え、同様の性質を持つトーリック・ファノ多様体はピカール数が１であることを示した。滑らかな場合の研究の拡張であるが、元々の予想を後押しする結果であると言える。

（１）前年度までに、４次元の滑らかなトーリック弱ファノ多様体がファノ多様体に変形する現象についての結果を得ているが、今年度は、その高次元化の第一歩として、５次元の場合について同様の考察を行った。４次元の場合は、２次元の滑らかなトーリック弱デル・ペッツォ曲面の分類を必要としていたため、同様の手法によって５次元の理論を展開しようとすると、３次元の滑らかなトーリック弱ファノ多様体の分類表を参照する必要があり、計算量が飛躍的に増大し大変困難なものとなる。よって、多様体の分類に依存しない方法を模索しており、現在も考察中である。（２）変形理論に関連して、トーリック森理論方面の研究も欠かせないが、今年度は射影空間のトーラス不変点でのブロー・アップに対して、その反標準因子に関する極小モデルプログラムを考察した。すなわち、弱ファノ多様体を構成するということであるが、次元とブロー・アップする点の数によって、極小モデルがいつファノ多様体になるのかを完全に決定した。ファノ多様体になる場合でも、更に、束構造を持つ場合と森コーンの端射線が全て小さくなる場合とに分かれ、非常に興味深い現象を得た。引き続き、この構成で得たファノ多様体を様々な問題に応用することを考察していく。（３）滑らかなトーリック・ファノ多様体の第二チャーン指標が正であるとき、その多様体の構造を決定できるか、という問題も引き続き考えている。海外の研究によって、多少進歩があったようであるが、そこでの方向性は本研究とも近いものであった。今後も同様の方針で研究を進めて行く予定である。また、末端特異点を持つ場合に３次元で同様の問題を考え、同様の性質を持つトーリック・ファノ多様体はピカール数が１であることを示した。滑らかな場合の研究の拡張であるが、元々の予想を後押しする結果であると言える。