強擬凹複素曲面とその境界に現れる接触構造

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研究課題(17K14193)において、強擬凹曲面への正則ハンドルの接着法を確立することにより「任意の3次元閉多様体はケーラーな強擬凹曲面の境界として実現可能である」という結果を得た。本研究課題ではその続きとして「強擬凹曲面上のケーラー形式と境界との相性がよい場合、境界上の接触構造はtightか？」という問題に取り組んでいる。現在のところ、以下の2つのアプローチを試みている。一つ目は、強擬凹曲面について何らかの意味で小平の埋め込み定理の類似が成り立てば、そこから境界のfillabilityが示され、特に接触構造がtightであることが示されるだろうというものである。このアプローチを推進する観点から、小平邦彦によるコンパクト複素曲面の分類に関する一連の論文、Marinescuによるhyperconcave endのfillabilityに関する論文、Lempertによる3次元強擬凸CR多様体のfillabilityに関する論文などを精読し、複素幾何およびCR幾何の知識・考え方を習得中である。一方、二つ目の方針は、ハンドル接着によって具体的に反例を構成するというものである。つまり、境界との相性がよいケーラー形式を持ちかつ境界がovertwistedである強擬凹曲面を作るという方針である。現段階では、こちらの方が有望ではないかと予想している。この方針においては、contact (+1)-surgeryに相当する正則ハンドル接着であって、ケーラー形式を適切に延長するものを構成することが重要となる。そのために、Gayによる凹シンプレクティックハンドル接着と我々の強擬凹正則ハンドル接着を融合させることが鍵になると考えている。