3次元多様体の接触構造と葉層構造

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球面S3の標準的な接触構造のルジャンドル結び目の研究の中で、特にGopakumar-Vafa予想について研究した。予想は、Homfly多項式を含む結び目の不変量が6次元シンプテクティク多様体において、境界をラグランジュ部分多様体に持つ正則曲線の個数を数えることによって得られるというものである。与えられた結び目Kから得られる4次元球体B4の中のラグランジュ部分多様体LKで境界がKになるものを経由してこのラグランジュ部分多様体は構成されている。ここで、Kが3次元球面S3の標準的な接触構造に文寸し、ルジャンドル結び目であるという状況が自然に考えられる。Tobias Ekholm、 Ko Hondaとともに、LKの役割を担う候補者を研究した。このラグランジュ曲面が完全という条件の下で、Kに付加構造を与え、それにより曲面を区別できることを見出した。Gopakumar-Vafa予想についてRutherfordがHomfly多項式とKauffman多項式のいくつかの係数がルーリングを数えることで得られることを示している。このルーリングが4次元球体B4にはめ込まれたラグランジュ曲面として扱えることを見出し、それによって+adequateと呼ばれる結び目の最大Thurston-Bennequin数を決定する問題を解いた。正ブレイドに対してのHomfly多項式の研究の中で、ブレイドに対するHomfly多項式の係数の値のブレイドに全回転を加えたときの値の関係を見出した。