シュラムレブナー発展を用いた開弦の場の理論の古典解の探究

2022年度はシュラム・レヴナー発展(SLE)方程式とヴィラソロ代数のヌルベクトル条件の関係について調べた。既にBauerとBernardによってSLEのマルチンゲール条件とレベル2のヌル条件の対応が指摘されSLE/CFT対応が大きく進展したが、一般のレベルのヌル条件との対応関係は未だ不明である。そこでまずBauerとBernard の方法に従い、高階のヌル条件を出すようなヴィラソロ代数上のランダム過程を考え、対応する共形変換の従う確率微分方程式を導出した。しかしヌル条件を導く項以外の項を確率論的に整合的に決定することができず有用な進展を得ることができなかった。その後、ヌルベクトル条件そのものでなく、異なるレベルのヌルベクトルの線形結合を再現するだけで十分であることが先行研究より分かった。しかし、この先行研究ではヌル条件一般を扱えていないこと、また確率論的理解や統計系の曲線との関連性が不明であるなど問題は未だ残っている。しかし、この方向性での探索はいったん断念し、次にSLEの駆動関数を拡張することを考えた。通常のSLEは定数のパラメーターを持つブラウン運動(以下BM)によって駆動されるが、ランダム媒質上のBM(Brox拡散)で駆動されるSLE曲線を調べた。その結果BMだけでなく媒質も含めたスケール不変性があることが分かった。また数値計算ソフトMathematicaに駆動関数をインプットとしてSLE曲線を出力するプログラムを実装し数値的な解析も行った。その結果通常のSLEと同様に3つの相が見られること、通常のSLE曲線よりも拡散が遅い局在化傾向があることなどが分かった。また複素平面上の点の左を通過する確率は通常のSLEと同じ表式に従うことの示唆が得られた。今後これらの結果を解析的に証明し、更にランダム媒質上の統計模型を表すと予想される対数CFTとの対応を探っていく予定である。

2022年度はシュラム・レヴナー発展(SLE)方程式とヴィラソロ代数のヌルベクトル条件の関係について調べた。既にBauerとBernardによってSLEのマルチンゲール条件とレベル2のヌル条件の対応が指摘されSLE/CFT対応が大きく進展したが、一般のレベルのヌル条件との対応関係は未だ不明である。そこでまずBauerとBernard の方法に従い、高階のヌル条件を出すようなヴィラソロ代数上のランダム過程を考え、対応する共形変換の従う確率微分方程式を導出した。しかしヌル条件を導く項以外の項を確率論的に整合的に決定することができず有用な進展を得ることができなかった。その後、ヌルベクトル条件そのものでなく、異なるレベルのヌルベクトルの線形結合を再現するだけで十分であることが先行研究より分かった。しかし、この先行研究ではヌル条件一般を扱えていないこと、また確率論的理解や統計系の曲線との関連性が不明であるなど問題は未だ残っている。しかし、この方向性での探索はいったん断念し、次にSLEの駆動関数を拡張することを考えた。通常のSLEは定数のパラメーターを持つブラウン運動(以下BM)によって駆動されるが、ランダム媒質上のBM(Brox拡散)で駆動されるSLE曲線を調べた。その結果BMだけでなく媒質も含めたスケール不変性があることが分かった。また数値計算ソフトMathematicaに駆動関数をインプットとしてSLE曲線を出力するプログラムを実装し数値的な解析も行った。その結果通常のSLEと同様に3つの相が見られること、通常のSLE曲線よりも拡散が遅い局在化傾向があることなどが分かった。また複素平面上の点の左を通過する確率は通常のSLEと同じ表式に従うことの示唆が得られた。今後これらの結果を解析的に証明し、更にランダム媒質上の統計模型を表すと予想される対数CFTとの対応を探っていく予定である。