非線形消散波動方程式の一般論の構築と宇宙論および流体力学への応用

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本研究課題初年度の今年度は、本研究の前に採択されていた基盤研究Bで見出した起点、空間１次元の半線形波動方程式と宇宙論に関係する非線形消散波動方程式の解析が主体となった。前者に関しては非常に顕著な成果があった。まず、非線形項が未知関数の時間微分だけからなるモデル方程式に対して、なぜか空間１次元の解析だけ長年抜けていたものである。非線形項に空間変数の重みを付けて解析したが、それに関する結果自体は一般論の最適性に関する新しい情報を提供するものではなく、一般論の拡張時に補助的な役割を担うものである。しかしながら、この非線形項と未知関数自身からなる非線形項との和による特異な現象、両者が単独の場合に得られる古典解の最大存在時間 (lifespan) が和になるとその最小値より極端に短くなる現象、いわゆるcombined effect、が観測されるような解析に応用できることがわかった。実際、各点評価の逐次代入法という古典的かつ精密な解析に乗り、初期速度の全空間での積分量がゼロの場合にその現象を発見した。この結果は、線形自由な解の時間減衰がない空間１次元では得られないと思われていたもので、初期値を分類することによって出現させることができた。また、二種類の非線形項の和が生み出す影響を詳細に解明できたため、一般論に未だ分類不足な部分があることもわかった。これは非線形波動方程式の分野に大きく貢献するものである。後者は、ビックバン直後のド・ジッター時空間で半線形消散波動方程式を考察すると、エネルギー解のlifespanにどのように変化するか、解の爆発から測ったものである。急激に宇宙が膨張および収縮している場合に対応する状況で、半線形項の臨界冪を明らかにし、lifespanの上からの評価を与えた。時間大域存在の証明はすでに他の研究者によって得られているので、後は結果の最適性だけが残った。