制御系設計のためのBMI求解アルゴリズムとその実装

BMIとは双線形行列不等式、すなわち一方の変数を固定するとLMI(線形行列不等式)となる行列不等式である。制御系の解析問題は代数操作によってLMIに帰着されることが多いが、解析問題がLMIで表現できるならば、対応する設計問題はBMIとなる。すなわちBMIは制御系設計問題の広いクラスを統一的に記述する能力をもつ。本研究の目的は、制御系設計問題を記述するBMIを実用的な速度で解くアルゴリズムの開発およびその実装である。BMIの求解は非凸計画問題に帰着され、LMIの求解とは異なり、一般にNP困難であることが知られているが、制御系設計問題を記述するBMIにおける変数の数は高々数十であり、実用的な速度での求解は困難であると考えられる。本研究の結果は以下のとおりである:BMIのLMIへの緩和に基づく分枝限定法を用いたBMI求解アルゴリズムを提案し、変数の数が少ない場合に対して有効であることを示した。提案したアルゴリズムは有限時間で収束する大域最適化アルゴリズムであり、最悪ケースの計算量を明らかにした。さらに緩和問題の最適性を用いた分枝カット基づく高速化について議論し、それを用いたアルゴリズムを提案した。また、非線形/時変/不確定フィードバック系の安定性を統一的に与えるIQCを用いた安定性理論に基づく補償器の設計問題がBMIに帰着されることを示した。

BMIとは双線形行列不等式、すなわち一方の変数を固定するとLMI(線形行列不等式)となる行列不等式である。制御系の解析問題は代数操作によってLMIに帰着されることが多いが、解析問題がLMIで表現できるならば、対応する設計問題はBMIとなる。すなわちBMIは制御系設計問題の広いクラスを統一的に記述する能力をもつ。本研究の目的は、制御系設計問題を記述するBMIを実用的な速度で解くアルゴリズムの開発およびその実装である。BMIの求解は非凸計画問題に帰着され、LMIの求解とは異なり、一般にNP困難であることが知られているが、制御系設計問題を記述するBMIにおける変数の数は高々数十であり、実用的な速度での求解は困難であると考えられる。本研究の結果は以下のとおりである:BMIのLMIへの緩和に基づく分枝限定法を用いたBMI求解アルゴリズムを提案し、変数の数が少ない場合に対して有効であることを示した。提案したアルゴリズムは有限時間で収束する大域最適化アルゴリズムであり、最悪ケースの計算量を明らかにした。さらに緩和問題の最適性を用いた分枝カット基づく高速化について議論し、それを用いたアルゴリズムを提案した。また、非線形/時変/不確定フィードバック系の安定性を統一的に与えるIQCを用いた安定性理論に基づく補償器の設計問題がBMIに帰着されることを示した。