一般余次元のアファインはめ込みの分類および構成

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1.諸幾何構造を保つ一般余次元のアファインはめ込みとして,とくに正則中心アファインはめ込みを,松添博(東北大)と協力することにより研究した.(1)正則中心アファインはめ込みの剛性を示し、内在的に特徴付けた.すなわち,2つの正則中心アファインはめ込みが同じ接続を誘導すれば,それらはアファイン合同であることを示した.また,局所的な設定で,アファイン接続が正則中心アファインはめ込みから誘導されるための必要十分条件を射影曲率テンソル等を用いて記述した.(2)非退化な正則アファイン超曲面に対して,その余法線写像は正則中心アファインはめ込みになることがわかる.逆に,正則中心アファインはめ込みが与えられたとき,これを余法線写像とする非退化な正則アファインはめ込みを構成できるだろうか.構成できるとしたら,それはどのくらい自由度があるだろうか.この問題に対して,我々は解答を与え,正則中心アファインはめ込みとある種の条件をみたす計量の組から,非退化な正則アファイン超曲面を構成する方法を得た.これはルリューブルの結果(1888年)を複素幾何学の場合に一般化したことにあたっている.2.3次元アファイン空間内のアファイン極小曲面の研究はカラビ等により古くからなされていたが,その概念を拡張し,余次元2のアファインはめ込みに対して極小中心アファインはめ込みを定式化して,その例を構成した.その際,黒瀬俊(福岡大)等との情報交換が役立った.