反応拡散方程式系の解の大域的挙動の研究

自然現象の出現メカニズムを理解するために,反応拡散方程式がしばしば用いられ,解の構造が調べられる.単独方程式の場合,比較定理を用いることにより,定常解の存在とその空間的様相を調べることができ,定常解の空間的様相と安定性との間には深い関係があり,さらに,ある非線形性をもつ方程式に対しては,大域的アトラクタはすべての定常解の不安定多様体の和集合として表現できることも知られている.これらから,方程式の解の精密な漸近挙動を理解するためには,定常解の分岐構造の解明が重要であることがわかる.しかしながら,連立方程式の場合,一般には比較定理が成立することは期待できない.このことが,定常解の分岐構造の解析を複雑なものにする一つの要因となっている.本研究では,反応拡散方程式系の解の精密な漸近挙動を調べる最初の段階として,競争関係にある2種の生物の個体群の動態を記述する密度に依存した拡散項をもつLotka-Volterra競争系について考察し,定常解の空間的様相と安定性との間の関連性を調べ,定常解の大域的な分岐構造を解明することを目標とした.その結果として,系がある条件をみたす場合には,Chafee-Infante(1974/75)によって示された反応拡散方程式の定常解の分岐構造と類似した構造をもつことがわかった.また,拡散項が線形の場合には,分岐が起こったとしても,ある種の分岐しか起こらないことも最近わかってきた.今後の課題としては,周期解やさらに複雑な挙動を示す解の存在および非存在を調べ,解の精密な漸近挙動を解明することが残されている.

自然現象の出現メカニズムを理解するために,反応拡散方程式がしばしば用いられ,解の構造が調べられる.単独方程式の場合,比較定理を用いることにより,定常解の存在とその空間的様相を調べることができ,定常解の空間的様相と安定性との間には深い関係があり,さらに,ある非線形性をもつ方程式に対しては,大域的アトラクタはすべての定常解の不安定多様体の和集合として表現できることも知られている.これらから,方程式の解の精密な漸近挙動を理解するためには,定常解の分岐構造の解明が重要であることがわかる.しかしながら,連立方程式の場合,一般には比較定理が成立することは期待できない.このことが,定常解の分岐構造の解析を複雑なものにする一つの要因となっている.本研究では,反応拡散方程式系の解の精密な漸近挙動を調べる最初の段階として,競争関係にある2種の生物の個体群の動態を記述する密度に依存した拡散項をもつLotka-Volterra競争系について考察し,定常解の空間的様相と安定性との間の関連性を調べ,定常解の大域的な分岐構造を解明することを目標とした.その結果として,系がある条件をみたす場合には,Chafee-Infante(1974/75)によって示された反応拡散方程式の定常解の分岐構造と類似した構造をもつことがわかった.また,拡散項が線形の場合には,分岐が起こったとしても,ある種の分岐しか起こらないことも最近わかってきた.今後の課題としては,周期解やさらに複雑な挙動を示す解の存在および非存在を調べ,解の精密な漸近挙動を解明することが残されている.