数理ファイナンスに現れる自由境界問題の数理解析

数学金融中出现的自由边界问题的数学分析

• 批准号: 13874022
• 负责人: 小俣 正朗
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Kanazawa University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874022/
• 关键词: 数理ファイナンス; ブラックショールズ方程式; 非線形偏微分方程式; 数値解析; 自由境界問題

アメリカンオプションに現れる、ブラックショールズ方程式の自由境界問題の研究を行ってきた。最終的に1次元ブラックショールズモデルのアメリカンオプション計算システムが完成した。自由境界、即ち「権利行使最適値」を見いだすに足る、数値解析プログラムである。ブラックショールズ方程式のアメリカンオプション版は、数学的にはObstacle problem(障害物問題)と呼ばれるもので、楕円型の場合、障害物と解のグラフは1階微分までが一致して(接っして)いる。これは数値解析にとっては誠に都合の悪いことで、自由境界の場所を特定するのを難しくしている。このため、メッシュを細かくして数値計算を行ったり、さらに微分した方程式から情報を得るなどの工夫が必要になる。本研究では、微分した方程式の解の情報から自由境界の位置を精密に決めることに成功した。精密に計算するためには大規模計算が必要で、当研究室で開発した分散並列計算機を用いて数値実験を行った。科研費のおかげで、小さなパソコンによる分散並列系で処理する環境が整った。また、複雑なオプションでは高次元の問題が出てくるがこれにも対応するプログラムを開発したが、まだ安定的に使える状況に至っていない。さらに、自由境界問題に関する解法プログラムを完成させ、以上の成果を、学術誌掲載(予定も含む)4報にまとめることができた。特に、ブラックショールズの問題については、第52回理論応用力学講演会オーガナイズドセッション「数理ファイナンスの展開」(セッションオーガナイザー)において(共同研究者による)講演を行い、このプロシーディングに投稿中である。しかし、解法システムは完成したが、数学理論で、退化オペレータの扱いが完全には出来ていない。また、この問題は初期領域が無い問題で、ここにも重大な難点がある。今後の課題であろう。

A Study on the Free State Problem of the Equation of the Equation The final 1-dimensional calculation is complete. Free state, namely,"the most appropriate value for the exercise of interest", see the table below. The solution of the equation is consistent with the first order differential equation in mathematical cases. The number of analysis, integrity and unity, freedom and the place of specific difficulties It is necessary to calculate the differential equation and obtain the information. This paper studies the information of the solution of the differential equation and the precision of the solution of the free state. Precision computing is necessary for large-scale computing, and distributed computing is needed for research. Scientific research costs are low, small and complex, and the environment is integrated. The problem of high dimensional problems arises from the development and stability of the situation. The above achievements are published in academic journals (pre-determined). The 52nd Lecture on Theoretical and Applied Mechanics was held in the middle of the lecture. The solution is complete, mathematical theory is degenerate, and the solution is complete. The problem is not in the early stage of the field, and the problem is not in the early stage. Future issues.

项目成果

S.Omata, S.Kinami: "A numerical approach to the eikonal equation"Nonlinear Analysis. 47. 3795-3802 (2001)

S.Omata、S.Kinami：“方程方程的数值方法”非线性分析。

T.Nagasawa, K.Nakane, S.Omata: "Numerical computations for movement of vortices governed by a hyperbolic Ginzburg Landau system"Nonliear Analysis. (to appear).

T.Nagasawa、K.Nakane、S.Omata：“双曲 Ginzburg Landau 系统控制的涡流运动的数值计算”非线性分析。

T.Nagasawa, K.Nakane, S.Omata: "Numerical computations for movement of vortices governed by a hyperbolic Ginzburg Landau system"Nonliear Analysis. 51. 67-77 (2002)

T.Nagasawa、K.Nakane、S.Omata：“双曲 Ginzburg Landau 系统控制的涡流运动的数值计算”非线性分析。

H.Imai, K.Kikuchi, K.Nakane, S.Omata, T.Tachikawa: "A Numerical Approach to the Asymptotic Bbehavior of Solutions of a One-Dimensional Free Boundary Problem of Hyperbolic Type"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(1). 41-56 (2001)

H.Imai、K.Kikuchi、K.Nakane、S.Omata、T.Tachikawa：“双曲型一维自由边界问题解的渐近行为的数值方法”日本工业与应用数学杂志。

H.Imai, K.Kikuchi, K.Nakane, S.0mata, T.Tachikawa: "A Numerical Approach to the Asymptotic Bbehavior of Solutions of a One-Dimensional Free Boundary Problem of Hyperbolic Type"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(1). 41-56 (2001)

H.Imai、K.Kikuchi、K.Nakane、S.0mata、T.Tachikawa：“双曲型一维自由边界问题解的渐近行为的数值方法”日本工业与应用数学杂志。