非平衡系に現れる多次元孤立波パターンの数理モデル構築

非平衡系统中多维孤立波型数学模型的构建

• 批准号: 13874018
• 负责人: 小川 知之
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874018/
• 关键词: 孤立波パターン; Swift-Hohenberg方程式; 六角パターン; 多重安定; 粉粒体; Conley指数; 大域分岐図検証; 孤立パターン; 粒流体

粉粒体の現象などに現れる特徴的なパターン形成・発展に動機付けされて、多次元孤立波パターンを持つような現象論的モデル方程式を解析した。それによって、(1)孤立波パターンは分岐論的には複合モードとして現れることが明らかになった。また、(2)大域的な分岐構造を解析する道具を構築した。(1)粉粒体の多次元パターンの数理的な解析がほとんど行われていないのは、まずは基礎方程式がないからであるが、流体のパターンからの対比でいくつかの縮約方程式が提案されている。スウィフト・ホヘンバーグ方程式は、熱対流のロールパターン形成の縮約モデルであるが、振動場での粉体のパターン形成などとの関連性が指摘されている。熱対流の通常の問題(レイリー・ベナール対流)では六角パターンなどの複合波は安定には存在しないことが知られているが、これに対して振動場の流体や粉体では振動周期によって異なる周期パターンが安定に観測される。一番簡単な場合には5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式に帰着され、それによって説明される。すなわち周期解の構造をモード相互作用により調べると、3次のときより分岐構造はより豊富で、六角パターンなどの安定性が示された。より詳しくはたとえば亜臨界的に複合モード解が分岐し比較的広いパラメーター領域で分岐枝が階層的にターニングした複合モードが安定に得られた。これにより数々の複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンなどと関連するのではないかと考えられる。これらは、現在整理して投稿準備中である。(2)孤立波パターンは一般に大振幅なので弱非線型的に局所分岐理論では捉えられない。(1)でも述べたが大域分岐図を求めることがとりわけ重要であるが非線型系の大域的な状況を厳密に理解するのは難しい。そのために、大域分岐図を数値検証する方法を提案した。計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することをConley指数という位相的方法を用いて行った。解をガレルキン近似した有限次元部分と無限次元部分に分けて孤立化近傍を区間演算を用いて計算機で構成する。対流のパターン形成の単純モデルであるスウィフト・ホヘンバーグ方程式で、実際に大域分岐図の検証を行った。またこれは、通常の数値検証法と異なり、平衡点の安定性次元まで込みで検証できるという利点がある。このうち部分的な結果は下記のように発表予定である。大域分岐図を検証するには平衡点の存在のみならず一意性や分岐図以外の解の非存在なども示さなければならないが、これらを包括した結果は現在投稿準備中である。

由粉末和颗粒现象中出现的特征模式形成和发育的动机，我们分析了具有多维孤立波模式的现象学模型方程。这表明（1）在分支理论方面，孤立波模式是一种复合模式。此外，（2）构建了用于分析全球分支结构的工具。 （1）很少执行粉状和颗粒多维模式的数学分析的原因是因为没有基本方程，但是与流体模式相比，已经提出了几种还原方程。 Swift-Hogenberg方程是用于形成热对流胶卷模式的凝结模型，但已经指出了其与粉末模式形成的关系。在热对流的通常问题（雷利 - 沿对流）中，众所周知，诸如六角形模式之类的复合波不稳定存在，但是在振动场中的流体和粉末中，根据振动周期差异的周期性模式。最简单的情况是从具有第五阶非线性的Swift-Hogenberg方程得出，并由此解释。也就是说，当通过模态相互作用检查周期溶液的结构时，分支结构比第三阶更丰富，表明六边形模式的稳定性等。更具体地说，例如，在该模式下，复合模式解决方案在稳定的参数区域中分层分层，并在该模式下分支分支。这导致许多复杂的模式，单个模式和常数状态同时稳定，并且被认为与实验粉的实验组发现的孤立波模式有关。这些目前正在组织和准备发布。 （2）孤立波模式通常是较大的幅度，因此不能通过局部分支理论以微弱的非线性方式捕获它们。如（1）所述，找到全球分支图尤为重要，但是很难严格了解非线性系统的全球状况。为此，我们提出了一种数值验证全局分支图的方法。使用称为Conley指数的拓扑方法对数值获得的分支图进行了严格验证。该解决方案被分为有限维零件和由Gallerkin近似的无限尺寸零件，并且使用间隔计算通过计算机构建孤立的邻域。实际使用Swift-Hogenberg方程验证了全局分叉图，这是对流模式形成的简单模型。这也具有一个优势，即与普通的数值验证方法不同，可以将其包含在平衡点的稳定性维度上。这些结果的部分结果将如下宣布：要验证全球分支图，它不仅必须显示出平衡点的存在，而且还必须显示除分支图以外的独特性和缺乏解决方案，而且这些包容性结果目前正在准备提交。

项目成果

平岡 裕章, 小川 知之, K.Mischaikow: "Swift-Hohenberg方程式の定常解大域分岐のConley指数を用いた検証"日本応用数理学会論文誌. (発表予定).

Hiroaki Hiraoka、Tomoyuki Okawa、K.Mischaikow：“使用康利指数验证 Swift-Hohenberg 方程的稳定全局分岔”日本应用数学学会杂志（待出版）。

T.Ogawa: "Periodic travelling waves and their modulation"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(2). 521-542 (2001)

T.Okawa：“周期性行波及其调制”日本工业和应用数学杂志。