非平衡系に現れる多次元孤立波パターンの数理モデル構築

非平衡系统中多维孤立波型数学模型的构建

• 批准号: 13874018
• 负责人: 小川 知之
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-13874018/
• 关键词: 孤立波パターン; Swift-Hohenberg方程式; 六角パターン; 多重安定; 粉粒体; Conley指数; 大域分岐図検証; 孤立パターン; 粒流体

粉粒体の現象などに現れる特徴的なパターン形成・発展に動機付けされて、多次元孤立波パターンを持つような現象論的モデル方程式を解析した。それによって、(1)孤立波パターンは分岐論的には複合モードとして現れることが明らかになった。また、(2)大域的な分岐構造を解析する道具を構築した。(1)粉粒体の多次元パターンの数理的な解析がほとんど行われていないのは、まずは基礎方程式がないからであるが、流体のパターンからの対比でいくつかの縮約方程式が提案されている。スウィフト・ホヘンバーグ方程式は、熱対流のロールパターン形成の縮約モデルであるが、振動場での粉体のパターン形成などとの関連性が指摘されている。熱対流の通常の問題(レイリー・ベナール対流)では六角パターンなどの複合波は安定には存在しないことが知られているが、これに対して振動場の流体や粉体では振動周期によって異なる周期パターンが安定に観測される。一番簡単な場合には5次の非線形性を持つスウィフト・ホヘンバーグ方程式に帰着され、それによって説明される。すなわち周期解の構造をモード相互作用により調べると、3次のときより分岐構造はより豊富で、六角パターンなどの安定性が示された。より詳しくはたとえば亜臨界的に複合モード解が分岐し比較的広いパラメーター領域で分岐枝が階層的にターニングした複合モードが安定に得られた。これにより数々の複合モードや単一モードまた定数状態が同時に安定である状況もあり、粉体の実験グループが見つけている孤立波パターンなどと関連するのではないかと考えられる。これらは、現在整理して投稿準備中である。(2)孤立波パターンは一般に大振幅なので弱非線型的に局所分岐理論では捉えられない。(1)でも述べたが大域分岐図を求めることがとりわけ重要であるが非線型系の大域的な状況を厳密に理解するのは難しい。そのために、大域分岐図を数値検証する方法を提案した。計算機により数値的に得られた分岐図を厳密に検証することをConley指数という位相的方法を用いて行った。解をガレルキン近似した有限次元部分と無限次元部分に分けて孤立化近傍を区間演算を用いて計算機で構成する。対流のパターン形成の単純モデルであるスウィフト・ホヘンバーグ方程式で、実際に大域分岐図の検証を行った。またこれは、通常の数値検証法と異なり、平衡点の安定性次元まで込みで検証できるという利点がある。このうち部分的な結果は下記のように発表予定である。大域分岐図を検証するには平衡点の存在のみならず一意性や分岐図以外の解の非存在なども示さなければならないが、これらを包括した結果は現在投稿準備中である。

The phenomenon of powder and granular matter is manifested in the special phenomenon of powder and granular material. The formation and development of the motive is done , multi-dimensional solitary wave パターンをholding the つようなphenomenological theory of the モデル equation をanalysis した.それによって, (1) The には compound モードとして of the solitary wave パターンは bifurcation theory is now れることが明らかになった.また, (2) The branch structure of the large area is analyzed and constructed. (1) The basic equations of analysis and analysis of multi-dimensional mathematics of powder and granular materials. Formula がないからであるが, fluid のパターンからの対ratio でいくつかの reduced equation が proposal されている.スウィフト・ホヘンバーグequationは, 热対流のロールパターン forming モモデルであるが, vibration field でのpowder のパターン formation などとのrelatedness がPICK されている. The common problem of heat flow (レイリー・ベナール対流) is that the hexagonal hexagonal flow is known to exist in the compound wave of stability and stability.られているが、これに対して Vibration field のfluid やPowder では Vibration period によってdifferent なる period パターンが stabilization にmeasurement される. Ichiban 単な occasion には 5 times nonlinearity をhold つスウィフト・ホヘンバーグ equation に帰与され、それによって Explain される.すなわち Periodic Solution の Structure をモード Interaction によりtone べると, 3 times のときThe structure of the bifurcated structure is rich and the hexagonal structure is stable and stable.より detail しくはたとえば亜critical に compound モードsolved が分岐し comparative 広いパラメーThe タターニングした compound モードが stabilized に得られた is divided into branch branches.これにより Number 々の compound モードや単一モードまたfixed number status がsimultaneously に stable である status もあり, pink体の実験グループが见つけているisolated wave パターンなどとrelated するのではないかと卡えられる.これらは、Now organizing して and preparing for submission である. (2) The solitary wave theory is generally based on the local bifurcation theory of large amplitude and weak nonlinearity. (1) It is important to explain the situation of the large area divided by the large area, and it is difficult to understand the situation of the large area in the non-linear system.そのために, large area division 吐図を number value certificate する method を proposal した. The method of calculating the numerical value of the computer is to use the method of calculating the phase of the Conley index. The solution of the をガレルキンapproximationしたfinite-dimensional part and the infinite-dimensional partにdivisionけてisolated proximityをinterval calculusをis constructed using a いてcomputer.対流のパターン成の単正モデルであるスウィフト・ホヘンバーグequationで、実记に大 domain divergence 岐図の検证を行った.またこれは, the usual のnumerical value proof method とdifferent なり, the balance point of the stability dimension まで込みで検 proved できるという利Point がある. The results of the このうち part are written down in the のように発 table. The existence of the equilibrium point of the great domain's bifurcation and the existence of the equilibrium point and the non-existence of the solution outside the bifurcation of the great domain In the などもshows the さなければならないが, the これらを including the した results は is now being prepared for submission である.

项目成果

平岡 裕章, 小川 知之, K.Mischaikow: "Swift-Hohenberg方程式の定常解大域分岐のConley指数を用いた検証"日本応用数理学会論文誌. (発表予定).

Hiroaki Hiraoka、Tomoyuki Okawa、K.Mischaikow：“使用康利指数验证 Swift-Hohenberg 方程的稳定全局分岔”日本应用数学学会杂志（待出版）。

T.Ogawa: "Periodic travelling waves and their modulation"Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics. 18(2). 521-542 (2001)

T.Okawa：“周期性行波及其调制”日本工业和应用数学杂志。