Studies on rigorous integrator for infinite dimensional dynamical systems

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。