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Studies on rigorous integrator for infinite dimensional dynamical systems

无限维动力系统严格积分器研究

基本信息

批准号：
22K03411
负责人：
高安亮紀
金额：
$ 2.25万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。

This year は time 発 exhibition する nonlinear partial differential equations (time 発 exhibition equation) の solution orbit を厳 dense に quadrature する computer avail himself of the prove that the research of technique のにのし従, solution of basic theory, dynamic analytical technique のなを new たに establish することに successful した. Specific には majored in mechanical, infinite dimensional として time 発 exhibition equation is の solution の挙を catch え, を using semigroup theory いた fixed point form によって the numerical に better られた approximate solution nearly alongside に existence をの time bureau computer avail himself of the proved する demean を establish した. Special に fixed point form の fixed point が like の equations seaborne の classical solution となる things be を with いての bureau solution, time nearly alongside における a meaning exist を the numerical computing で厳 dense に guide く unified な method proposed をできた. は approximate solution by this method is における発 exhibition effect element の time others review 価をと precision guarantee pay き semigroup theory the numerical computation のによって be presently した point が specialty であり, finite dimensional part をに, infinite dimensional part of the numerical を semigroup theory の review 価 method でそれぞれ Cha うことにより, hoped の review 価を must ることに successful している. さらに time interval の endpoint の review 価を line うことによって, existence and moment をのするタイムステッピング method も open 発した. Plural time interval にわたのる solution the numerical 検は, each time interval における bureau exist 検 card を interval calculus による the numerical computing によって Qiao り return すことで may になることを shown した. この way の応 with として, fluid のモデルである Swift - Hohenberg equation および material chemistry eset のジブロック weigh fit (diblock copolymer) モデルである Ohta - Kawasaki equation にし seaborne て applicable した. Early and えられた numerical からのの solution time 発 exhibition を the numerical computing でた approximate solution near alongside において厳 dense に contains することで, time 発 exhibition orbit equation is の solution を厳 dense に quadrature する computer avail himself of the may prove がとなった.