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Studies on rigorous integrator for infinite dimensional dynamical systems

无限维动力系统严格积分器研究

基本信息

批准号：
22K03411
负责人：
高安亮紀
金额：
$ 2.25万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

本年度は時間発展する非線形偏微分方程式（時間発展方程式）の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明手法の研究に従事し、解の非摂動的な解析手法の基礎理論を新たに確立することに成功した。具体的には、無限次元力学系として時間発展方程式の解の挙動を捉え、半群理論を用いた不動点形式によって数値的に得られた近似解近傍に解の時間局所存在を計算機援用証明する定式化を確立した。特に不動点形式の不動点が対象の方程式の古典解となる事実を用いて、時間局所解の近傍における一意存在を数値計算で厳密に導く統一的な方法を提案できた。本方法は近似解における発展作用素の時間一様評価を半群理論と精度保証付き数値計算の融合によって実現した点が特長的であり、有限次元部分を数値的に、無限次元部分を半群理論の評価方法でそれぞれ扱うことにより、所望の評価を得ることに成功している。さらに時間区間の端点の評価を行うことによって、解の存在時刻を延長するタイムステッピング法も開発した。複数時間区間にわたる解の数値検証は、各時間区間における局所存在検証を区間演算による数値計算によって繰り返すことで可能になることを示した。この方法の応用として、流体のモデルであるSwift-Hohenberg方程式および材料化学分野のジブロック共重合体(diblock copolymer)モデルであるOhta-Kawasaki方程式に対して適用した。与えられた初期値からの解の時間発展を数値計算で得た近似解近傍において厳密に包含することで、時間発展方程式の解軌道を厳密に求積する計算機援用証明が可能となった。

This year, we successfully established the basic theory of solving nonlinear partial differential equations (time evolution equations) by using computer to prove the method of solving nonlinear partial differential equations. The solution of the time evolution equation of the concrete infinite dimensional mechanics system is obtained by using the fixed point form of the semigroup theory, and the approximate solution of the time evolution equation is established by using the computer. In particular, the fixed point form and the fixed point form of the classical solution of the equation of the corresponding image are used in the calculation of the approximate value of the solution of the time bureau. This method is successful in evaluating semigroup theory, accuracy assurance, numerical value calculation, convergence, finite dimensional part, numerical value, infinite dimensional part. The evaluation of the end point of the time interval is extended. The numerical value of the solution in the complex time interval is proved, and the numerical value of the solution in each time interval is calculated. The method is applicable to the fluid model, the Swift-Hohenberg equation, and the material chemistry model, the diblock copolymer model, the Ohta-Kawasaki equation. The time evolution equation of the initial stage is calculated to obtain approximate solutions, including the time evolution equation and the solution orbit.