代数幾何学とその境界領域への応用

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本年度の研究では、代数多様体の構造の研究、および多変数の超幾何関数の群論的な構造の研究において進展を見た。まず、代数多様体の構造では6次曲面の大域変形を決定した論文を完成、投稿して出版した。引き続き、種数3のペンシルを持つ曲面の構造の研究の完成を目指している。後者の超幾何関数については、パラメーターを上げ下げした場合の隣接関係の観点から、これらの関数にはたらく対称性をリー群・リー環との関連でとらえることに興味を持ち、その立場からの研究を続けた。ゲルファントの定義したグラスマン多様体上の超幾何関数の場合の隣接関係が一般線形群GL(n)の作用で説明できることに注目して、それを拡張した形でq-類似の場合にも隣接関係を与える差分作用素を定めることができた。これらの作用素の全体は対応する量子群の表現を与えるものである。同様の関係がシンプレクチック群Sp(2n)の場合にも発見できることを予想していたが、本年の研究によって最終的な結果を得た。現在論文を作成中である。これはガウスの1変数超幾何関数でパラメーターが特別な関係を持つ場合を含みその点からも興味深いものである。さらにシンプレクチックの場合にもq-類似が存在することが期待されるので、このようなqつきべき級数の定義、それのみたす差分方程式系、およびそれらの隣接関係を研究し、Spの場合の量子展開環との関連を明らかにすることが次年度以降の研究で期待される。超幾何関数の研究は種々の専門が交差する分野にあたり、研究協力者からのサジェスションが有益であった。特に協力者の木村弘信は合流型の超幾何関数について類似の研究を行い、野海正俊はより抽象的に量子群の立場から隣接関係をとらえる研究を行った。