多変数超幾何関数と量子群

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この研究では、多変数の超幾何関数の群論的な構造を研究の主題としている。ゲルファンドによる超幾何型のホロノミック偏微分方程式系の発見により、ガウスの超幾何関数はグラスマン多様体上の多変数の超幾何関数に拡張され、これらの関数の持つ変換公式と隣接関係が一般線形群の作用から自然に定義されることが判明した。その結果として、従来知られていたガウスの超幾何関数の場合にも新しい観点が生まれたと考えられる。その例として、l変数超幾何関数のq-類似関数について、その隣接関係を定めるq-差分作用素の計算が可能となり、それらの作用素全体がSL(4)の量子展開環をなすことが判明したのであった。さらにその発展として、ゲルファントの定義したグラスマン多様体上の超幾何関数の場合の隣接関係が一般線形群GL(n)の作用で説明できることに注目して、それを拡張した形でq-類似の場合にも隣接関係を与える差分作用素を定めることができた。これらの作用素の全体は対応する量子群の表現を与えるものである。これらの結果の発展として、シンプレクチック群Sp(2n)に対応する場合に研究を進め、ラグランジアン・クラスマン多様体上で定義される超幾何型のホロノミツク系を構成し、その隣接関係のつくるリー環がSp(zn)のリー環であること、またそのq類似として、C型のカルタン行列の定める量子普遍展開環が現れることを発見した。この結果について現在論文を準備中である。また、重さ付き同次多項式に付随した超幾何関数や、ルート系に付随したもの等について興味深い特殊関数やリー環との関連を追及した。この問題については今後も継続して研究の予定である。