葉層構造の研究

1.余次元1葉層の幾何学:余次元1の葉層は幾何的手法によりその定性的性質を調べることが出来る。又その結果をAnosov流等力学系の問題に応用することが出来る。3-多様体上のものは比較的よく調べられているが,高次元では未知の部分が多い。これについて多様体の位相が葉層の構造に及ぼす影響を調べるのが我々の目標の一つであった。我々は基本群が可解の多様体の上の閉葉を持たない葉層で,非自明なホロノミーが孤立固定点のみを許容するとき,その葉層は本質的にアフィンであるということを示した。これにより,基本群が可解の多様体上の余次元1Anosov流はトーラスの双曲的自己同相の懸垂であるというVerjovsky予想を完全に解決した。2.離散的ゴドビヨン-ヴェイ類:C^2-級の葉層に関するゴドビヨン-ヴェイ類とよく似た類(離散ゴドビヨン-ヴェイ類という。)が区分的にC^<1+r>級の葉層に対し定義されるが,これについて,3-多様体上のPL葉層の離散ゴドビヨン-ヴェイ類の値の取る範囲を考える問題がある。これと関連して,曲面群のPL表現の剛性の問題があり,特別の場合これを解決した。3.Lie葉層の葉の遠端:Gをコンパクト群を商群として持たないLie群とする。このとき,コンパクト多様体上のLieG葉層の葉の遠端は,1点か,2点か,カントール集合であるが,Gが可解かつ非アーベル群のとき,1点であることを示した。また,この遠端は,ホロノミー群のみにより定まることを示した。4.横断的にアフィンな流れ:閉3-多様体上の横断的にアフィン構造を持つ流れのうち,次のようなものを分類した。(1)完備なもの(2)ホロノミー群が面積を保ちかつ一点を固定するもの。(3)ホロノミー群が面積を保ち,かつホモトピー持ち上げ性を有するもの。

1.余次元1葉層の幾何学:余次元1の葉層は幾何的手法によりその定性的性質を調べることが出来る。又その結果をAnosov流等力学系の問題に応用することが出来る。3-多様体上のものは比較的よく調べられているが,高次元では未知の部分が多い。これについて多様体の位相が葉層の構造に及ぼす影響を調べるのが我々の目標の一つであった。我々は基本群が可解の多様体の上の閉葉を持たない葉層で,非自明なホロノミーが孤立固定点のみを許容するとき,その葉層は本質的にアフィンであるということを示した。これにより,基本群が可解の多様体上の余次元1Anosov流はトーラスの双曲的自己同相の懸垂であるというVerjovsky予想を完全に解決した。2.離散的ゴドビヨン-ヴェイ類:C^2-級の葉層に関するゴドビヨン-ヴェイ類とよく似た類(離散ゴドビヨン-ヴェイ類という。)が区分的にC^<1+r>級の葉層に対し定義されるが,これについて,3-多様体上のPL葉層の離散ゴドビヨン-ヴェイ類の値の取る範囲を考える問題がある。これと関連して,曲面群のPL表現の剛性の問題があり,特別の場合これを解決した。3.Lie葉層の葉の遠端:Gをコンパクト群を商群として持たないLie群とする。このとき,コンパクト多様体上のLieG葉層の葉の遠端は,1点か,2点か,カントール集合であるが,Gが可解かつ非アーベル群のとき,1点であることを示した。また,この遠端は,ホロノミー群のみにより定まることを示した。4.横断的にアフィンな流れ:閉3-多様体上の横断的にアフィン構造を持つ流れのうち,次のようなものを分類した。(1)完備なもの(2)ホロノミー群が面積を保ちかつ一点を固定するもの。(3)ホロノミー群が面積を保ち,かつホモトピー持ち上げ性を有するもの。