Study of Foliations and Group Actions

S を向き付け可能な閉曲面でオイラー数が負であるものとする。その単位接束を M とする。M の上の向き付け可能な無限回微分可能な余次元１葉層構造は皆互いに位相共役であることが知られている（松元）。そのような葉層構造をふたつ選び、それらは互いに横断的であるとする。この状況の典型的な例は、片方が測地流の安定葉層、もう片方が不安定葉層の場合であり、その交わりの１次元葉層は測地流そのものである。ところが同じこの二つの葉層がこれとは異なった横断的交わりをすることがある（松元―坪井）。この場合の交わりの１次元葉層の性質を調べた。これはかなり不自然な交わりであり、その性質もあまり普通でないものが多い。群 G が不変生成であるとは、各々の元に対しそれと共役な元を一つずつ選ぶとき、どんな選び方であっても、選ばれた元が群 G を生成することを言う。群 G の部分群 H が類充満とは群 G のすべての元に対し、それと共役な元が H の中に存在することを言う。群 G が不変生成であることと類充満な部分群が G 以外にないこととは同値である。これを用いて、有限群が不変生成であることが示される。更には仮想可解群も不変生成である。反対に語双曲群は不変生成でない。また位相空間の同相写像のうち、台がコンパクトなもののなす群もまた不変生成でない。松田能文氏との共同研究において、単位区間の区分的に線形な写像のなす群が不変生成であることを示してあったが、さらにその様々な部分群が不変生成であることを示した。

S を向き付け可能な閉曲面でオイラー数が負であるものとする。その単位接束を M とする。M の上の向き付け可能な無限回微分可能な余次元１葉層構造は皆互いに位相共役であることが知られている（松元）。そのような葉層構造をふたつ選び、それらは互いに横断的であるとする。この状況の典型的な例は、片方が測地流の安定葉層、もう片方が不安定葉層の場合であり、その交わりの１次元葉層は測地流そのものである。ところが同じこの二つの葉層がこれとは異なった横断的交わりをすることがある（松元―坪井）。この場合の交わりの１次元葉層の性質を調べた。これはかなり不自然な交わりであり、その性質もあまり普通でないものが多い。群 G が不変生成であるとは、各々の元に対しそれと共役な元を一つずつ選ぶとき、どんな選び方であっても、選ばれた元が群 G を生成することを言う。群 G の部分群 H が類充満とは群 G のすべての元に対し、それと共役な元が H の中に存在することを言う。群 G が不変生成であることと類充満な部分群が G 以外にないこととは同値である。これを用いて、有限群が不変生成であることが示される。更には仮想可解群も不変生成である。反対に語双曲群は不変生成でない。また位相空間の同相写像のうち、台がコンパクトなもののなす群もまた不変生成でない。松田能文氏との共同研究において、単位区間の区分的に線形な写像のなす群が不変生成であることを示してあったが、さらにその様々な部分群が不変生成であることを示した。