多変量分布の近似に関する研究

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ZはN(0.I_p)に従うrandom vector,SはZと独立な正定値random matrixとする.X=S1/2ZをZの尺度混合という.Xの正確な分布は例えそれが求まったとしても一般にはかなり複雑であり,Xに関するいろいろな事象の確率を具体的に計算するのは困難である.統計理論で現われるSは多くの場合標本の大きさnに依存し,nが大きいときに定数行列(例えば単位行列1)に確率収束する.このような場合にはXの分布は正規分布N(0.1)で近似されると考えてよいであろう.この近似の精度を上げるために,Xの分布を正規分布の回りで展開するなどの手段が考慮される.この研究ではXの分布の確率密度f(x)を正規分布のそれφ(x)の回りで展開して,それを有限(最初のk項まで)のところで打ち切った場合の誤差をL_1-normで評価することに成功した。【numerical formula】とおく.ただし,∂xは微分演算子(∂/∂x_1,…,∂/∂Xp)^tを表す.Xの分布はf(X)=E{|S|^<-1/2>φ(S-^<-1/2>x)}で与えられる確率密度を持ち【numerical formula】が成り立つ.ただし,C_k._pはある簡単な漸化式で定まる定数であるか特に【numerical formula】である.