量子群の非可換微分幾何

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量子群の作用素環への作用を考える場合には、量子群を作用素環を用いて記述する必要性が生じるが、まだその準備はできていない。そこで量子群の座標環であるHopf*環を稠密*部分多元環として含み、しかもHopf*環の群構造をその上へ拡張できるような作用素環の枠組を作る必要がある。しかし、これを具体化しようと思うと、余積の値域の問題、余逆写像の非有異性の問題など、取り扱いが容易でないと思われる問題とすぐに直面する。他方、作用素環では量子群が発見される以前から、群の量子化としてKac環という対象がvon Neumann環を用いて定義され、研究されてきた。そこで、この考え方や枠組を参考に、量子群のq変形に対応した。Kac環のq変形に相当する、Woronowicz環なるものを定義し、局所コンパクト群の場合に知られている、Pontrjagin-淡中-Krein-辰馬の双対定理に相当する命題を示した。このWoronowicez環は、Hopf環の場合と違って、冨田-竹崎理論を用いて一般的に定義されているため、具体的な量子群がこの定義に適合するかどうかの確認が必要で、現在のところ、この適合性が確認できた量子群はSUq(n)だけである。当面の応用上はこれで十分であり、量子群SUq(n)の作用素環への作用を考えることができるように成った。その結果、λ=q^2の場合、AFDIII_A型因子環の量子群SUq(n)に関する不動点環はAFDII_1型因子環であり、接合積はAFDII_∞型因子環に成る。さらに、AFDII_∞型因子環には量子群の双対対象の作用が存在し、接合積はAFDIII_A型因子環のこともわかった。