群論の古典的問題とその関連分野

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本研究の目的は、離散的な群に関する古典的な問題の研究とそれの他の分野への応用であった。研究代表者と分担者は、これらの成果をいくつかの研究集会で発表し、また他の関連分野の研究者との研究の交流によってお互いの研究成果を持ちよって討議した。そのため研究費の大部分は、研究打ち合せ旅費として使われた。この研究によって得られた主な成果(途中経過も含む)は次のとおりである。1.ふたつの群を結ぶ準同型写像の個数や部分群の個数に関する各種合同式。2.有限群のモジュラー表現論との関係。3.整数論、作用素環、微分方程式のモノドロミー群、位相幾何との関係。4.バーンサイド環とマッキー関手の研究と応用。5.群作用を持つ符号とデザイン。本研究でもっとも力を入れて研究した第1の課題については、ふたつの群を結ぶ準同型写像の個数に関するいくつかの合同式を証明し公表した。これはフロベニウスの古典的な結果の拡張になっている。これに関連して、多くの問題と予想が未解決のまま残っており、今後の研究課題として残されている。例えば、与えられた次数の対称群において、位数が3のベキの元の個数が3で何度割り切れるか、という問題さえコンピユータによる膨大な計算にも関わらず不明である。次に群が作用する符号についてマックウイリアムズ型の恒等式を証明した。また群作用を伴うブロックデザインに関するフィッシャー型不等式を証明した。証明の一部に超幾何級数に関する古い恒等式を用いている。