有限群の研究

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単純群分類後の有限群論における重要な課題として、部分群や準同型写像の個数の研究がある。本研究は、この種の大典的問題に対し、現代的アプロ-チを試みた。主要な成果は下記の通り。すべて英文の論文として公表または公表予定である。またいくつかは各種研究集会で発表した。1.ふたつの(非可換)有限群の間の準同型写像の個数に関する合同式を得た。これは、群上の方程式の解の個数に関する1903年のフロベニウスの定理の大幅な拡張であり、本研究における最大の成果である。これをさらに拡張して、コホモロジ-集合の濃度に関する予想を立てた。これはまだ解けておらず、その証明、それに群論などへの応用が今後の課題である。2.群と母関数との関連を研究し、母関数の間の関係について、多くの成果を得た。特に、指数関数等式のカテゴリ-論的に解釈に成功した。さらに、すべてのア-ベルp群の自己同型群の位数の逆数の和に関するホ-ルの奇妙な公式の別証明を得た。3.有限群の表現論のテクニックを組み合わせ論に応用して、いくつかの新しい成果を得た。特に群作用を伴うブロックデザインに関する新しいフィッシャ-型不等式が、ブラウア-関手という有限群のモジュラ-表現の道具を用いて、証明出来た。この証明には、さらに超幾何級数に関するザ-ルシュッツの公式が登場する。ほかの種のデザインについても同様の不等式があると思われる。