高次元カテゴリー論による群の表現論の基礎付け

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高次元カテゴリーに関係したいくつかの成果が得られた。主なものをあげる。1. カテゴリーの母関数。カテゴリーεの母関数とは、形式的無限和ε(t)=Σ_<X∈ε>t^X/|Aut(X)|のことである。ここでt^Xは、対象Xの同型類に対応した不定元である。これについて、以下の結果を得た。(1) Joyalによる種の理論との関係。(2) εが強いKrull-Schmidtカテゴリー(つまり直和分解の一意性が成立する)なら、指数関数型恒等式ε(∪)=exp(Con(ε)(∪))が成り立つ。(3) 逆に、指数関数型恒等式が成り立てば、若干の条件の下でεが強いKrull-Schmidtカテゴリーになる。これらの結果は、北大のプレプリント(1998#416,432、いずれもJ.Algebraに投稿中)に見られる:T.Yoshida,Categorical aspects of generating functions(I) :Exponential formulas,(II)Operations on categories and functors.2. クロスバーンサイド環。Gを有限群、Sを有限G-モノイドとする。クロスG集合とは、Sへの重み関数をともなう有限G-集合のことである。クロスG-集合については、テンソル積が定義できる。したがって、クロスG-集合のグロタンディエック環(クロスバーンサイド環)が定義できる。これについて、以下の結果が得られた。(1) クロスG-集合とDrinreldによるquarltum doubleとの関係。(2) クロスバーンサイド環の基本定理。(3) ベキ等元公式とその応用。これらの結果は、次の論文に公表予定(J.Algebraに投稿)である:F.Oda-T.Yoshida,Crossed Burnside rings(I),(II).そのほか、マッキー関手や、群論の古典的問題に関係したいくつかの結果が得られており、順次論文として公表予定である。