群論の古典的問題

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群論における古典的問題の現代的方法による研究に関して、いくつかの予想と結果が得られた。予想1:Aを有限生成群、Bをその部分群、Gを有限群、μ:B→Gを準同型写像とする。 このとき、μのA→Gへの拡張の個数はgcd(|A/A′B|,|C_G(μ(B))|)で割り切れる。ただしA/A′Bが無限群の場合は、|A/A′B|と|G|との最大公約数は|G|とする。この予想は、Aが可換群の場合に証明されている(吉田1993)。A=〈X,Y〉が階数2の自由群で、B=〈X^<-1>Y^<-1>XY〉の場合に正しいことを証明した(投稿中)。予想2:Aを有限アーベル群、Gを有限群とし、|Hom(A,G)|=gcd(|A|,|G|)と仮定する。このとき、∩{λ(A)|λ∈Hom(A,G)}はGの正規部分群。この予想は一般には成立しないが、Aがp-群の場合に正しい(投稿中)。予想3:Mを向きのある3-次元閉多様体、Gを有限群、|α|∈H^3(G,U(1))とする。このとき、Dijkgraaf-Witten不変量Z_<G,α>(M):=Σ__<λ:π_1(M)→G>〈λ^*(α),|M|〉∈(|G|)/(gcd(|H_1(M)|,|G|)ZGが巡回群の場合、α=1でAでアーベル群の場合や、特別なMの場合に予想を証明した。Mackey functorとTQFTに関連した他の成果として、モノイダル・カテゴリーからの非テンソル・ファンクターの研究がある。結果は環論の国際シンポジウム(岡山11月)で発表した。