保型関数

点击翻译按钮获取中文摘要

Iの原始n乗根を含む代数体Fに対し,SL_2(F)のn次被覆群Gをn巾剰余記号(-)_nを用いて構成することができる.Gのアデ-ル化G(A)上の保型形式をメタプレクティック形式という.O_FをFの整数環とすると,SL_2(O_F)の適当な合同部分群ΓはG(A)の中のもち上げられる.これは久保田富雄氏の発見である。また久保田氏はあるEisenstein級数の留数がメタプレクティック形式であることを証明した。この形式は後にPatterson,Deligueによっても考察された。それはn=2に対するテ-タ級数の類似と見なされているにもかかわらず,いずれの構成法もN巾剰余記号を前提としていて,テ-タ級数のように平方剰余記号と独立に定義されていない.もともと被覆分光Gがn巾剰余記号を用いて構成された以上,その上の保型形式が剰余記号に依存するのは当然と思えるが,メタプレクティック形式を上半空間H=SL_2(C)/SU(2)上の保型形式と見るとき,それの具体的な,剰余記号に依存しない一つの構成法が知られるならば,テ-タ級数との類似を一歩進めることになる.伊藤博氏の二つの論文A function on the upper half space uhich is analogous to the imaginary part of log n(Z)とA note onDecle kind sumsは示唆に富んでいる.実際,F=Q(√<-3>)の場合,その結果より上半空間上に目標の保型性をもつ関数が作られるのであるが,解析性の条件が満たされない.上記論文にならい保型性と解析性の条件を同時に満足する関数が作られないかとあれこれ試みているが,現在までに成功していない.