保型関数

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保型形式をアイゼンシュタイン級数と尖点形式の和として表すという当面の研究目標をメタプレクティック群に当てはめる時、メタプレクティック群の許容表現とくに主系列表現の詳しい性質、たとえばそれがどのような既約部分表現に分解するかを調べることが重要となる。メタプレクティック群が局所体上の2次特殊線型群のn重被覆群である場合にこれを行った。実数体および複素数体上の2次特殊線型群の被覆群に対し、最近吉田敬之氏はある主系列表現から高次のヴェイユ型表現が導かれることを示した。これらのヴェイユ型表現はそれぞれ久保田富雄氏、山崎正氏により別個の方法で構成されていたもので、吉田氏の結果はこの何か不可思議な事実をよく解明したものと言うことができる。非アルキメデス的局所体に対し、同様のことを試みるのは難かしそうであるが、主系列以外の表現も含めて、メタプレクティック群の許容表現のキリロフ型モデルを研究することは面白いことであると思われる。また、2次特殊線型群の被覆群の尖点表現、すなわち非主系列表現、が適当なヴェイユ表現により構成されるかどうかも興味あることである。2次特殊線型群の場合から類推すれば、この問題には4元数体の有限次元既約表現が関係する。このような既約表現の指標公式はゲルファントにより証明なしで発表されていて、私も独自に計算したことがある。最近土方弘明氏そのほかの人により簡明な証明が与えられた。このようなことも尖点表現の研究に役立つであろう。以上の問題はシンプレクティック群または高次特殊線型群の被覆群に拡げられる。これをつぎの研究目標とする。