有限群のカルタン行列とその固有値

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Gを有限群,標数をP>0の代数的閉体F上の群環をFGとし、そのblockをB,Bのdetect groupをDとする。Bに属する既約FG-加群の個数をl(B)とする。BのCartan行列CのPerron-Frobenius固有値についていくつかの事実を調べてきたが,今年度は残された問題のうち次の結果を得た。1.Pの評価がblockに関する量で言い表すことがうまくできなかったが,次の事実を発見した。H:Gの部分群,bをHのblockとし,bのCartan行列をC,そのPerron-Frobenius固有値をPとする。(1)P≦l(b)P・max__<1≦i≦l(B)>{βi/ai}(2)P≦l(B)P・max__<1≦i≦l(b)>{αi/bi} ここでai,bi,αi,βiはB,bに附随するある行列の第i行和と第i列の最大成分を表す。(1)から良く知られた不等式P≦max__<1≦i≦l(B)>{ui/fi}等を得る。2.Brauer予想“k(B)≦1D1"はGがP-可解のときもまだ示されていない。l(B)≦k(B)だから、Brauer予想が正しければl(B)≦1D1も成立つはずであるが,これもGがP-可解のときすら分っていない。予想:GがP-可解のときl(B)^2≦Σ__<i.j>cig 但しC=(Cij)が成り立てば固有値Pを経由してl(B)≦1D1が言える。予測が,GがP-closedのときに成立すればよいことを示し,いくつかのP-closedな群で予想が成立することを確かめた。