複素平面上の有理型函数及び代数型函数の値分布

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本研究の当初の目的の一つが、いわゆるHaymanの予想の解決であった。即ち、複素平面上の有理型函数fとその二階導函数f″が零点を持たないとき、対数的導函数f′/fの逆数は高々一次多項式に帰着される(このとき、f(z)=f_<exc>(z):=exp(Az+B)または(Az+B)^<-n>,A,B∈C,n∈N)ことの証明である。30年間以上も未解決であったこの予想は、しかしながら本研究を開始して間もなく、J.K.Langley氏により完全に解決された。それ故、導函数の零点が有する特異性を別な方向から論ずるべく、Haymanの予想とも密接に関連する次の問題の考察が研究目的となった:有理型函数fの零点分布とその各k階導函数f^<(k)>(n【greater than or equal】k【greater than or equal】1)の零点分布が不変と仮定したn=3、或はn=2かつfの零点の収束指数有限条件のもとで、得られたこの問題の解はf=f_<exc>である。これにより、f_<exc>を除けばどの函数も高階導函数の零点分布が特異ではないことを、本研究で確かめたと考える。第二の研究目的は、n価代数型面のPicard定数に関するOzawa‐Sawadaの定理の拡張であった。Picard定数の最大値2nそして2n-1をもつn価代数型面S(n=3,4)をそれぞれ特徴付けるため、Ozawa‐Sawadaはその面の位数が有限、即ちSを定義するn価整代数型函数yの位数が有限であることを仮定した。本研究では、複素平面上の有理型函数に関して得た結果を応用して、n=3のときにSawada‐Tohgeが、n=4の場合にNiino‐Tohgeがそれぞれ別の手法を用いて、位数有限性の仮定を取り除くことに成功した。特にNiino‐Tohgeが用いた手法は、一般のn(【greater than or equal】3)に対しても適用可能であり、今後の研究に寄与する処は少