代数群上の保型形式と保型L-関数の研究

本研究の目的は、古典群Gと一般線形群の積の上の保型形式に付随するL関数の研究である。その目的は、Gが直交群の場合には、ほぼ満足すべき形で解決することができた(広島大理・菅野孝史氏、京都大総合人間・加藤信一氏との共同研究)。以下、実施計画に沿ってその概略を述べる。1.直交群G=O(m)上の保型形式Fと一般線形群H=GL(n)上の保型形式fの組に対しいわゆるRankin-Selberg積分Z(s;F,f)を構成し、それが(F,f)に付随する保型L関数を表示しているかが当初の問題であった。Z(s;F,f)は、Fから定まる一般化されたWhittaker関数Wと、fから定まる通常のWhittaker関数W^*を用いて表されるある種の積分として表示される(基本公式)。W^*については、その局所的性質はよく知られている。2.Fから定まる一般化されたWhittaker関数Wが局所的に良い性質を満たすことが期待されていたが、本研究により、次の結果が示された。(1)Wは、両側からのHecke作用素の作用に関し同時固有関数であるが、その固有値によりそのような関数は、局所的には(定数倍を除いて)一意的に定まる。(2)局所的な一般化されたWhittaker関数の積分表示が得られた。これにより、存在性も示される。(3)局所的な一般化されたWhittaker関数の明示公式3.上記の結果と組み合わせ論的考察をあわせることにより、Rankin-Selberg積分Z(s;F,f)が、(F,f)に付随するテンソル積L関数として表されることが示された。

本研究の目的は、古典群Gと一般線形群の積の上の保型形式に付随するL関数の研究である。その目的は、Gが直交群の場合には、ほぼ満足すべき形で解決することができた(広島大理・菅野孝史氏、京都大総合人間・加藤信一氏との共同研究)。以下、実施計画に沿ってその概略を述べる。1.直交群G=O(m)上の保型形式Fと一般線形群H=GL(n)上の保型形式fの組に対しいわゆるRankin-Selberg積分Z(s;F,f)を構成し、それが(F,f)に付随する保型L関数を表示しているかが当初の問題であった。Z(s;F,f)は、Fから定まる一般化されたWhittaker関数Wと、fから定まる通常のWhittaker関数W^*を用いて表されるある種の積分として表示される(基本公式)。W^*については、その局所的性質はよく知られている。2.Fから定まる一般化されたWhittaker関数Wが局所的に良い性質を満たすことが期待されていたが、本研究により、次の結果が示された。(1)Wは、両側からのHecke作用素の作用に関し同時固有関数であるが、その固有値によりそのような関数は、局所的には(定数倍を除いて)一意的に定まる。(2)局所的な一般化されたWhittaker関数の積分表示が得られた。これにより、存在性も示される。(3)局所的な一般化されたWhittaker関数の明示公式3.上記の結果と組み合わせ論的考察をあわせることにより、Rankin-Selberg積分Z(s;F,f)が、(F,f)に付随するテンソル積L関数として表されることが示された。