Branching laws for Jacobi modular forms: periods and specai L-values

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研究目的であるヤコビ形式の分岐則の解明のために、楕円モジュラー形式とヤコビ形式の間の関係を与える志村ー新谷リフトをアデール的に定式化した。その過程で、ヤコビ形式の空間 SJ から楕円モジュラー形式の空間 SM への線形写像である志村リフト L と、その随伴写像として得られる新谷リフト L* の合成に関して興味深い結果が得られた。すなわち、 SJ の元 F に対し、L*(L(F)) が F の定数倍になり、しかもその定数は F の保型L関数の特殊値になるというものである。すなわち、F は、写像の合成 L* L によって「復元」される。この復元公式の応用として、F が新谷リフトの像になるための十分条件が保型L関数の特殊値の言葉によって記述できることがわかった。これまで、新谷リフトを含むテータリフトの理論においては、リフト写像の核についての結果はいくつかあったが、像についての結果はほとんど知られていなかったので、この結果は注目すべきである。以上の結果は、大阪公立大学の源嶋氏との共同研究である。上記の復元公式は、他のテータリフトの場合にも適用が可能と思われる。実際、楕円モジュラー形式から２次四元数ユニタリ群青の保型形式へのリフトである荒川リフトについての復元公式を早稲田大の成田氏と現在共同研究を行っている。今後のさらなる展開としては、楕円モジュラー形式から３次ユニタリ群上の保型形式であるピカールモジュラー形式へのリフトである Kudla リフトについて、その復元公式を金沢大の菅野氏と共同研究を行う計画である。